Uma mistura de benzeno e tolueno deve ser separada em um equipamento de destilação em batelada simples, composto somente do vaporizador e condensador. A carga F é igual a 2 kgmoles com composição de 55 \% molar de benzeno e a volatilidade do benzeno em relação ao tolueno constante e igual a 2,5 . Determine:
A composição e quantidade final do resíduo para \mathrm{X}_{\mathrm{p}}=0,5,

Passo 1

O enunciado pede: determinar a composição e a quantidade final do resíduo (o líquido que permanece no pote) quando se realiza uma destilação em batelada simples com carga inicial F=2 kmoles e composição molar inicial de benzeno z_F=0,55, sabendo que a volatilidade relativa do benzeno em relação ao tolueno é constante e igual a \alpha=2,5. Foi dado também que \mathrm{X}_{\mathrm{p}}=0,5.
Dados fornecidos (lista clara):
F=2\\ \text{kmol},\qquad z_F=0,55,\qquad \alpha=2{,}5,\qquad X_p=0{,}5.
A pergunta específica: encontrar a composição final do resíduo (fração molar de benzeno nele) e a sua quantidade (kmoles) quando o distilado tem composição \mathrm{X}_{\mathrm{p}}=0{,}5.

Passo 2

Entendendo o que é \mathrm{X}_{\mathrm{p}}=0{,}5 no contexto de uma batelada com condensador total: o distilado condensado tem a mesma composição molar do vapor que sai do pote no equilíbrio com o líquido do pote. Assim, X_p é a fração molar do componente mais volátil (benzeno) no distilado, ou seja, é o valor de y (fração molar no vapor) no instante considerado:
y = X_p = 0{,}5.

Passo 3

Relação de equilíbrio (modelo de volatilidade relativa constante): para uma mistura binária com volatilidade relativa constante \alpha (benzeno mais volátil),
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x},
onde x é a fração molar do benzeno no líquido do pote e y é a fração molar do benzeno no vapor (distilado) em equilíbrio. Aqui: \alpha=2{,}5.

Passo 4

Encontrar a composição do líquido no pote ( x_W) que está em equilíbrio com o vapor de composição y=0{,}5. Invertendo a relação de equilíbrio:
y\big(1+(\alpha-1)x\big)=\alpha x
\Rightarrow x=\frac{y}{\alpha - y(\alpha-1)}.
Substituindo y=0{,}5 e \alpha=2{,}5:
x_W=\frac{0{,}5}{2{,}5 - 0{,}5\,(2{,}5-1)}=\frac{0{,}5}{2{,}5 - 0{,}5\cdot 1{,}5}=\frac{0{,}5}{2{,}5 - 0{,}75}=\frac{0{,}5}{1{,}75}=\frac{2}{7}.
Numericamente,
x_W=0{,}285714\ldots \approx 0{,}2857.
Isso é a composição do resíduo (fração molar de benzeno) no instante em que o distilado tem X_p=0{,}5.

Passo 5

Agora precisamos da quantidade final do resíduo L. Para destilação em batelada sem refluxo (ou com condensador total e retirada do distilado), usa-se a equação de Rayleigh:
\ln\frac{F}{L}=\int_{x_W}^{x_0}\frac{dx}{y(x)-x},
onde x_0 é a composição inicial do líquido no pote (aqui x_0=z_F=0{,}55), x_W é a composição final do líquido (já encontrada) e y(x) é dada pela relação de equilíbrio. Explicando: essa equação resulta do balanço material diferencial durante a retirada contínua do vapor — ela relaciona quanto líquido sobra no pote com a variação de composição, integrando a taxa de remoção ao longo do processo.

Passo 6

Substituímos y(x)=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x} na integral. Primeiro simplificamos o integrando:
y-x=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x=\frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x}.
Logo
\frac{1}{y-x}=\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}.
Para integrar, fazemos frações parciais. Observa-se que
\frac{1+(\alpha-1)x}{x(1-x)}=\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{1-x}.
Portanto
\frac{1}{y-x}=\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{1-x}\right).

Passo 7

Integrando entre x_W e x_0:
\int_{x_W}^{x_0}\frac{dx}{y-x}=\frac{1}{\alpha-1}\int_{x_W}^{x_0}\left(\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{1-x}\right)dx
=\frac{1}{\alpha-1}\left[\ln\frac{x_0}{x_W}-\alpha\ln\frac{1-x_0}{1-x_W}\right].
Logo a equação de Rayleigh vira:
\ln\frac{F}{L}=\frac{1}{\alpha-1}\left[\ln\frac{x_0}{x_W}-\alpha\ln\frac{1-x_0}{1-x_W}\right].

Passo 8

Substituir os valores numéricos: \alpha=2{,}5, x_0=0{,}55, x_W=0{,}285714\ldots, F=2.
Calculemos passo a passo (usando logaritmo natural):
\frac{x_0}{x_W}=\frac{0{,}55}{0{,}285714\ldots}=1{,}925, \qquad \ln\frac{x_0}{x_W}=\ln(1{,}925)\approx 0{,}6549.
\frac{1-x_0}{1-x_W}=\frac{0{,}45}{0{,}714286\ldots}=0{,}63, \qquad \ln\frac{1-x_0}{1-x_W}=\ln(0{,}63)\approx -0{,}4620.
Agora coloque na fórmula:
\ln\frac{F}{L}=\frac{1}{2{,}5-1}\Big[0{,}6549 - 2{,}5\cdot(-0{,}4620)\Big] =\frac{1}{1{,}5}\Big[0{,}6549 + 1{,}1550\Big] =\frac{1}{1{,}5}\cdot 1{,}8099 \approx 1{,}2060.

Passo 9

Desfaça o logaritmo para achar L:
\frac{F}{L}=\exp(1{,}2060)\approx 3{,}3412
\Rightarrow L=\frac{F}{3{,}3412}=\frac{2}{3{,}3412}\approx 0{,}5988\\ \text{kmol}.
Arredondando de forma prática para a prova:
L\approx 0{,}599\\ \text{kmol}.

Resposta

Composição do resíduo (fração molar de benzeno): x_W=0{,}2857
Quantidade final do resíduo: L=0{,}599\\ \text{kmol}

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