Deseja-se que um espelho côncavo forneça uma imagem do filamento de uma lâmpada de carro, sobre um anteparo situado a 4 m do espelho. O filamento tem 5 mm de altura e deseja-se que o tamanho da imagem seja de 40 cm . (a) Qual deve ser o raio de curvatura do espelho? (b) A que distância em frente do espelho deve-se colocar o filamento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espelhos côncavos juntos! A gente precisa descobrir duas coisas: primeiro, o raio de curvatura do espelho que vai formar a imagem da lâmpada, e segundo, a distância que a lâmpada deve ficar em relação ao espelho para que a imagem apareça no anteparo a 4 metros de distância. Para isso, vamos usar conceitos de óptica, como a fórmula dos espelhos e a relação de magnificação. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de curvatura. Em um espelho côncavo, o raio de curvatura R está relacionado à distância focal f pela fórmula:
R = 2f
Então, precisamos encontrar a distância focal para depois determinar R .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula dos espelhos, que relaciona a distância do objeto ( p ), a distância da imagem ( q ) e a distância focal ( f ):
1f = 1p + 1q
No nosso caso, o anteparo está a 4 metros do espelho, então q = 4 , m . Mas antes de continuar, vamos precisar descobrir p , a distância da lâmpada ao espelho.

Passo 4

Para encontrar p , vamos usar a relação de magnificação ( m ), que relaciona a altura da imagem ( h' ) com a altura do objeto ( h ):
m = h'h = -qp
Aqui, a altura do objeto h é 5 mm (que vamos converter para metros: 0,005 m) e a altura da imagem h' é 40 cm (0,40 m). Vamos substituir esses valores na equação:
0,400,005 = -4p
80 = -4p

Passo 5

Resolvendo para p :
80p = -4
p = -480
p = -0,05 , m
O sinal negativo indica que a imagem é virtual e está do mesmo lado do objeto, mas como estamos lidando com um espelho côncavo real, vamos considerar apenas o valor absoluto: p = 0,05 , m ou 5 cm.

Passo 6

Agora que temos p = 0,05 , m e q = 4 , m , vamos usar a fórmula dos espelhos para encontrar f :
1f = 10,05 + 14
1f = 20 + 0,25
1f = 20,25
f = 120,25
f approx 0,0494 , m
ou 4,94 cm

Passo 7

Finalmente, usando a relação R = 2f :
R = 2 times 0,0494
R approx 0,0988 , m
ou 9,88 cm

Resposta

(a) O raio de curvatura do espelho deve ser aproximadamente 9,88 cm.
(b) A lâmpada deve ser colocada a 5 cm em frente ao espelho.

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