Deseja-se que um espelho côncavo forneça uma imagem do filamento de uma lâmpada de carro, sobre um anteparo situado a 4 m do espelho. O filamento tem 5 mm de altura e deseja-se que o tamanho da imagem seja de 40 cm . (a) Qual deve ser o raio de curvatura do espelho? (b) A que distância em frente do espelho deve-se colocar o filamento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre espelhos côncavos juntos! A gente precisa descobrir duas coisas: primeiro, o raio de curvatura do espelho que vai formar a imagem da lâmpada, e segundo, a distância que a lâmpada deve ficar em relação ao espelho para que a imagem apareça no anteparo a 4 metros de distância. Para isso, vamos usar conceitos de óptica, como a fórmula dos espelhos e a relação de magnificação. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de curvatura. Em um espelho côncavo, o raio de curvatura
está relacionado à distância focal
pela fórmula:
Então, precisamos encontrar a distância focal para depois determinar
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula dos espelhos, que relaciona a distância do objeto (
), a distância da imagem (
) e a distância focal (
):
No nosso caso, o anteparo está a 4 metros do espelho, então
. Mas antes de continuar, vamos precisar descobrir
, a distância da lâmpada ao espelho.
Passo 4
Para encontrar
, vamos usar a relação de magnificação (
), que relaciona a altura da imagem (
) com a altura do objeto (
):
Aqui, a altura do objeto
é 5 mm (que vamos converter para metros: 0,005 m) e a altura da imagem
é 40 cm (0,40 m). Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 5
Resolvendo para
:
O sinal negativo indica que a imagem é virtual e está do mesmo lado do objeto, mas como estamos lidando com um espelho côncavo real, vamos considerar apenas o valor absoluto:
ou 5 cm.
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos usar a fórmula dos espelhos para encontrar
:
ou 4,94 cm
Passo 7
Finalmente, usando a relação
:
ou 9,88 cm
Resposta
(a) O raio de curvatura do espelho deve ser aproximadamente 9,88 cm.
(b) A lâmpada deve ser colocada a 5 cm em frente ao espelho.