Deseja-se estimar o consumo médio de energia elétrica por residência em certo bairro no verão. Uma amostra de 12 residências desse bairro forneceu um consumo médio de 190 kWh com desvio padrão de 30 kWh . Obtenha os intervalos de confiança com
e
de confiança para o consumo médio de energia elétrica por residência no bairro em questão. Assuma normalidade. Compare a amplitude dos intervalos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos estimar o consumo médio de energia elétrica por residência em um determinado bairro durante o verão. Para isso, temos uma amostra de 12 residências com um consumo médio de 190 kWh e um desvio padrão de 30 kWh. Vamos calcular os intervalos de confiança de 80% e 99% para essa média. Para resolver isso, vamos usar a distribuição t de Student, já que temos uma amostra pequena (menos de 30 residências) e não conhecemos o desvio padrão da população.
Passo 2
O próximo passo é calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos mostra o quão distante a média da amostra pode estar da média real da população. A fórmula para o erro padrão ($ SE $) é:
Onde:
- $ s $ é o desvio padrão da amostra (30 kWh).
- $ n $ é o tamanho da amostra (12 residências).
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para os níveis de confiança de 80% e 99%. Como estamos usando a distribuição t de Student, os valores críticos dependem do nível de confiança e dos graus de liberdade (df), que neste caso são:
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
- Para 80% de confiança: $ t_{0,10,11} \approx 1,363 $
- Para 99% de confiança: $ t_{0,005,11} \approx 3,106 $
Passo 4
Com o valor crítico t e o erro padrão, podemos calcular a margem de erro (ME) para cada nível de confiança. A fórmula é:
Calculando para cada caso:
- 80% de confiança:
- 99% de confiança:
Passo 5
Agora, vamos construir os intervalos de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra.
- 80% de confiança:
- 99% de confiança:
Passo 6
Por fim, vamos comparar a amplitude dos dois intervalos de confiança. A amplitude é a diferença entre o limite superior e o limite inferior do intervalo.
- 80% de confiança:
- 99% de confiança:
Observamos que o intervalo de 99% de confiança é mais amplo que o de 80%, o que faz sentido porque níveis de confiança mais altos requerem intervalos mais amplos para garantir que a média verdadeira esteja dentro deles.
Resposta
- Intervalo de confiança de 80%: [178,22 kWh, 201,78 kWh]
- Intervalo de confiança de 99%: [163,10 kWh, 216,90 kWh]
A amplitude do intervalo de 99% de confiança (53,80 kWh) é maior que a do intervalo de 80% (23,56 kWh), indicando que níveis de confiança mais altos resultam em intervalos mais amplos.