Suponha que estamos interessados em estimar a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a consumir um novo produto de limpeza. Se uma amostra de 120 clientes forneceu 80 indivíduos que aceitariam comprar o novo produto, determine: Embasados no intervalo construído no item anterior, podemos dizer que mais de 65% dos clientes do supermercado aceitariam comprar o novo produto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir se mais de 65% dos clientes do supermercado estão dispostos a comprar um novo produto de limpeza. Para isso, temos que trabalhar com uma amostra de 120 clientes, dos quais 80 disseram que aceitariam comprar o produto. Vamos precisar usar estatística para estimar essa proporção e construir um intervalo de confiança que nos ajude a responder a pergunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção de clientes da amostra que aceitaram comprar o produto. Isso é simples: dividimos o número de clientes que aceitaram pelo total da amostra.
p = 80120 = 0,6667 (ou 66,67%)

Passo 3

Agora, queremos construir um intervalo de confiança para essa proporção. Um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores dentro da qual a verdadeira proporção da população provavelmente está. Vamos usar um nível de confiança de 95%, que é bem comum.
Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
p pm z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção da amostra (66,67%),
  • z é o valor crítico para 95% de confiança (aproximadamente 1,96),
  • n é o tamanho da amostra (120).

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão:
raiz0,6667 times (1 - 0,6667)120 = raiz0,6667 times 0,3333120 = raiz0,2222120 approx raiz0,00185185 approx 0,043

Passo 5

Agora, calculamos a margem de erro multiplicando o valor crítico pelo erro padrão:
1,96 times 0,043 approx 0,0843 (ou 8,43%)

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção da amostra:
0,6667 - 0,0843 = 0,5824 (58,24%)
0,6667 + 0,0843 = 0,7510 (75,10%)
Então, o intervalo de confiança de 95% é aproximadamente 58,24% a 75,10%.

Resposta

Como o valor de 65% está dentro do intervalo de confiança (58,24% a 75,10%), não podemos afirmar com 95% de confiança que mais de 65% dos clientes aceitariam comprar o novo produto.

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