Uma empresa que fabrica pneus para carros de passeio está testando uma nova tecnologia para aumentar o tempo de vida útil dos pneus da referência A. Uma amostra de 25 pneus da referência em questão, fabricados com a nova tecnologia, forneceu um tempo de vida útil médio de 35.000 km , com desvio padrão de 2.500 km . Assuma que o tempo de vida dos pneus em questão segue uma distribuição normal. Determine o intervalo de confiança de 95% para a vida média dos pneus da referência A fabricados com a nova tecnologia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística onde uma empresa está testando uma nova tecnologia para pneus. Eles pegaram 25 pneus, testarão a vida útil média e deram que a média foi de 35.000 km, com um desvio padrão de 2.500 km. Nosso objetivo aqui é encontrar o intervalo de confiança de 95% para essa média. Basicamente, queremos saber entre quais valores a média verdadeira da vida útil dos pneus provavelmente está, com 95% de certeza.
Passo 2
Primeiro, como temos uma amostra pequena (25 pneus) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student para calcular nosso intervalo de confiança. A distribuição t é ótima quando trabalhamos com pequenas amostras e não sabemos o desvio padrão da população.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor crítico t para um nível de confiança de 95% e graus de liberdade (df) que é igual ao tamanho da amostra menos 1. Aqui, df = 25 - 1 = 24. Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que t₀,₀.₀₂₅ para 24 graus de liberdade é aproximadamente 2,064.
Passo 4
Vamos agora calcular o erro padrão da média. O erro padrão é dado por:
Isso nos mostra quanto a média da amostra pode variar em torno da média verdadeira.
Passo 5
Com o valor crítico t e o erro padrão, podemos calcular o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, isso nos dá:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a vida média dos pneus é entre 33.968 km e 36.032 km.