Suponha que estamos interessados em estimar a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a consumir um novo produto de limpeza. Se uma amostra de 120 clientes forneceu 80 indivíduos que aceitariam comprar o novo produto, determine: Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,03 com probabilidade de 95%. Essa amostra representaria um alto custo? Como podemos diminuir o tamanho da amostra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente estimar a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a comprar um novo produto de limpeza. A gente já sabe que, numa amostra de 120 clientes, 80 disseram que aceitariam comprar o produto. Agora, queremos descobrir qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro da nossa estimativa não seja maior que 0,03 (ou 3%) com 95% de confiança. Também vamos ver se esse tamanho de amostra custa muito e como podemos reduzir esse tamanho se precisar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, mais especificamente o cálculo de tamanho de amostra para estimar uma proporção.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a proporção atual que temos na nossa amostra. Já que 80 de 120 clientes disseram que aceitariam comprar o produto, a proporção § é dada por:
p = 80120 = 23 approx 0,6667
Isso significa que, com base na nossa amostra, aproximadamente 66,67% dos clientes estão dispostos a comprar o novo produto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula para calcular o tamanho da amostra necessário para estimar uma proporção com um determinado nível de confiança e margem de erro. A fórmula é:
n = ( Z^2 times p times (1 - p)E^2 )
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada.
  • $ E $ é a margem de erro máxima permitida.

Passo 4

Vamos identificar cada um desses componentes para a nossa situação:
  • Nível de confiança de 95%: O valor crítico $ Z $ para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
  • Proporção estimada $ p $: Já calculamos como 0,6667.
  • Margem de erro $ E $: Queremos que o erro não exceda 0,03.

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula, temos:
n = ( 1,96^2 times 0,6667 times (1 - 0,6667)0,03^2 )
Primeiro, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 6

Calculando o numerador:
1,96^2 = 3,8416
0,6667 times (1 - 0,6667) = 0,6667 times 0,3333 approx 0,2222
3,8416 times 0,2222 approx 0,8537
Agora, o denominador:
0,03^2 = 0,0009

Passo 7

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
n = 0,85370,0009 approx 948,56
Como o tamanho da amostra não pode ser fracionado, arredondamos para cima:
n approx 949

Passo 8

Então, o tamanho da amostra necessário para que o erro da estimativa não exceda 3% com 95% de confiança é de aproximadamente 949 clientes.

Passo 9

Sobre o custo dessa amostra: coletar dados de 949 clientes pode ser considerado custoso dependendo dos recursos disponíveis para o supermercado. Se o levantamento for feito por meio de entrevistas presenciais ou telefonemas, o custo pode aumentar. Porém, se for através de questionários online, o custo pode ser menor.

Passo 10

Para diminuir o tamanho da amostra e, consequentemente, os custos, podemos considerar algumas estratégias:
  1. Aumentar a margem de erro ($ E $): Aceitar um erro maior reduz o tamanho da amostra.
  2. Reduzir o nível de confiança: Um nível de confiança menor (por exemplo, 90% em vez de 95%) também diminui o tamanho da amostra.
  3. Usar técnicas de amostragem mais eficientes: Métodos como amostragem estratificada podem aumentar a precisão sem aumentar muito o tamanho da amostra.

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 949 clientes. Esse tamanho pode representar um custo alto dependendo dos recursos disponíveis, mas podemos reduzir esse custo aumentando a margem de erro, diminuindo o nível de confiança ou adotando técnicas de amostragem mais eficientes.

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