Suponha que estamos interessados em estimar a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a consumir um novo produto de limpeza. Se uma amostra de 120 clientes forneceu 80 indivíduos que aceitariam comprar o novo produto, determine: Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 0,03 com probabilidade de 95%. Essa amostra representaria um alto custo? Como podemos diminuir o tamanho da amostra?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente estimar a proporção de clientes de um supermercado que estão dispostos a comprar um novo produto de limpeza. A gente já sabe que, numa amostra de 120 clientes, 80 disseram que aceitariam comprar o produto. Agora, queremos descobrir qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro da nossa estimativa não seja maior que 0,03 (ou 3%) com 95% de confiança. Também vamos ver se esse tamanho de amostra custa muito e como podemos reduzir esse tamanho se precisar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, mais especificamente o cálculo de tamanho de amostra para estimar uma proporção.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a proporção atual que temos na nossa amostra. Já que 80 de 120 clientes disseram que aceitariam comprar o produto, a proporção § é dada por:
Isso significa que, com base na nossa amostra, aproximadamente 66,67% dos clientes estão dispostos a comprar o novo produto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula para calcular o tamanho da amostra necessário para estimar uma proporção com um determinado nível de confiança e margem de erro. A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
- $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ p $ é a proporção estimada.
- $ E $ é a margem de erro máxima permitida.
Passo 4
Vamos identificar cada um desses componentes para a nossa situação:
- Nível de confiança de 95%: O valor crítico $ Z $ para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
- Proporção estimada $ p $: Já calculamos como 0,6667.
- Margem de erro $ E $: Queremos que o erro não exceda 0,03.
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula, temos:
Primeiro, vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Passo 6
Calculando o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 7
Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
Como o tamanho da amostra não pode ser fracionado, arredondamos para cima:
Passo 8
Então, o tamanho da amostra necessário para que o erro da estimativa não exceda 3% com 95% de confiança é de aproximadamente 949 clientes.
Passo 9
Sobre o custo dessa amostra: coletar dados de 949 clientes pode ser considerado custoso dependendo dos recursos disponíveis para o supermercado. Se o levantamento for feito por meio de entrevistas presenciais ou telefonemas, o custo pode aumentar. Porém, se for através de questionários online, o custo pode ser menor.
Passo 10
Para diminuir o tamanho da amostra e, consequentemente, os custos, podemos considerar algumas estratégias:
- Aumentar a margem de erro ($ E $): Aceitar um erro maior reduz o tamanho da amostra.
- Reduzir o nível de confiança: Um nível de confiança menor (por exemplo, 90% em vez de 95%) também diminui o tamanho da amostra.
- Usar técnicas de amostragem mais eficientes: Métodos como amostragem estratificada podem aumentar a precisão sem aumentar muito o tamanho da amostra.
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 949 clientes. Esse tamanho pode representar um custo alto dependendo dos recursos disponíveis, mas podemos reduzir esse custo aumentando a margem de erro, diminuindo o nível de confiança ou adotando técnicas de amostragem mais eficientes.