Deseja-se estimar a integral
\int_{0}^{1,2} e^{x} \cos (x) d x
usando \mathrm{n}=6. Tem-se \mathrm{h}=
□ , construindo a
seguinte tabela de valores (com 4 casas de arredondamento)
x
f(x)
Resposta:
a) Aplicando a regra do trapézio tem-se a seguinte estimativa □ .
b) Aplicando a Segunda regra de Simpson temos □ .
c) A Primeira regra de Simpson pode ser aplicada nesse caso? SIM ou NÃO?

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações que temos:
  • Queremos estimar a integral \displaystyle \int_{0}^{1,2} e^{x}\cos(x)\,dx.
  • Foi dado \displaystyle n=6.
  • O passo entre nós (tamanho do subintervalo) é
\displaystyle h=\frac{1,2-0}{6}=\frac{1,2}{6}=0,2.
  • Precisamos construir a tabela de valores de x e f(x)=e^{x}\cos(x) com 4 casas de arredondamento e, usando essa tabela, aplicar:
    a) a regra do trapézio composto;
    b) a Segunda regra de Simpson (regra de Simpson 3/8, composta);
    c) responder se a Primeira regra de Simpson (regra de Simpson 1/3) pode ser aplicada neste caso (SIM ou NÃO).

Passo 2

Construção da tabela x_i e f(x_i)=e^{x_i}\cos(x_i) para i=0,1,\dots,6. Primeiro os nós:
x_i = 0 + i\cdot h,\qquad h=0,2,
portanto
x_0=0,\; x_1=0,2,\; x_2=0,4,\; x_3=0,6,\; x_4=0,8,\; x_5=1,0,\; x_6=1,2.
Agora calcular f(x)=e^{x}\cos(x) em cada nó. Explicando rapidinho como: calcula-se e^{x} e \cos x (com uma calculadora ou tabela) e multiplica-se; depois arredonda-se para 4 casas decimais. Os resultados (com 4 casas de arredondamento) são:
  • x_0=0, \;f(x_0)=e^{0}\cos 0=1\cdot 1= \; \,\, 1,0000.
  • x_1=0,2, \;f(x_1)=e^{0,2}\cos 0,2\approx 1,197056018\Rightarrow 1,1971.
  • x_2=0,4, \;f(x_2)=e^{0,4}\cos 0,4\approx 1,374061301\Rightarrow 1,3741.
  • x_3=0,6, \;f(x_3)=e^{0,6}\cos 0,6\approx 1,503860020\Rightarrow 1,5039.
  • x_4=0,8, \;f(x_4)=e^{0,8}\cos 0,8\approx 1,550545300\Rightarrow 1,5505.
  • x_5=1,0, \;f(x_5)=e^{1,0}\cos 1,0\approx 1,469693846\Rightarrow 1,4697.
  • x_6=1,2, \;f(x_6)=e^{1,2}\cos 1,2\approx 1,203073171\Rightarrow 1,2031.
Resumo da tabela (valores com 4 casas):
\begin{array}{c|c} x & f(x)=e^{x}\cos x\\hline 0 & 1,0000\\\\ 0,2 & 1,1971\\\\ 0,4 & 1,3741\\\\ 0,6 & 1,5039\\\\ 0,8 & 1,5505\\\\ 1,0 & 1,4697\\\\ 1,2 & 1,2031 \end{array}

Passo 3

Aplicando a regra do trapézio composta (explicação e cálculo).
  • Fórmula da regra do trapézio composta com n subintervalos e passo h:
\displaystyle T_n = h\left(\tfrac{1}{2}f(x_0)+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+\tfrac{1}{2}f(x_n)\right).
Aqui h=0,2 e usamos os valores da tabela (com 4 casas). Calculamos a soma interna:
\tfrac{1}{2}f(x_0)=\tfrac{1}{2}\cdot 1,0000=0,5000, \qquad \tfrac{1}{2}f(x_6)=\tfrac{1}{2}\cdot 1,2031=0,60155.
A soma dos valores interiores f(x_1)+\cdots+f(x_5) é
1,1971+1,3741+1,5039+1,5505+1,4697=7,0953.
Somando tudo dentro do parêntese:
S = 0,5000 + 7,0953 + 0,60155 = 8,19685.
Multiplicando por h=0,2:
T_6 = 0,2\cdot 8,19685 = 1,63937.
Arredondando (convenção da tabela) dá aproximadamente \;1,6394.

Passo 4

Aplicando a Segunda regra de Simpson (regra de Simpson 3/8 composta).
  • Explicando a regra: a regra 3/8 composta exige que n seja múltiplo de 3. Neste caso n=6 é múltiplo de 3, então podemos aplicá-la. A fórmula composta é
\displaystyle S_{3/8} = \frac{3h}{8}\Big(f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod 3}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=3,6,\dots\\\ i\le n-3}} f(x_i)\Big).
Para n=6 os índices múltiplos de 3 (exceto os extremos) são i=3; os outros interiores são i=1,2,4,5.
  • Calculando com os valores da tabela:
f(x_0)+f(x_6)=1,0000+1,2031=2,2031,
f(x_1)+f(x_2)+f(x_4)+f(x_5)=1,1971+1,3741+1,5505+1,4697=5,5914,
f(x_3)=1,5039.
Agora aplicar pesos:
\text{parêntese} = 2,2031 + 3\cdot 5,5914 + 2\cdot 1,5039 = 2,2031 + 16,7742 + 3,0078 = 21,9851.ê
Com 3h/8 = 3\cdot 0,2/8 = 0,075, obtemos
S_{3/8} = 0,075\cdot 21,9851 = 1,6488825.
Arredondando (4 casas) dá aproximadamente \;1,6489.

Passo 5

A Primeira regra de Simpson (regra de Simpson 1/3) pode ser aplicada?
  • Regra de Simpson 1/3 composta exige que n seja par (isto é, múltiplo de 2). Aqui n=6 é par, logo SIM, ela pode ser aplicada. (Observação rápida: se pedissem o valor com Simpson 1/3 também poderíamos calcular; mas o enunciado pediu explicitamente a Segunda regra e só perguntou se a Primeira pode ser aplicada.)

Resposta

a) \;1,6394
b) \;1,6489
c) SIM

Exercícios relacionados