Exercício 2.8. Utilize a Fatoração L U para resolver o sistema linear a seguir:
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4} & =7,12 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =14,90 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =12,02 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & =20,72 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear por fatoração L U. As equações dadas são (peguei todos os coeficientes e termos independentes do enunciado):
\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4} & =7,12,\\[4pt] 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4} & =14,90,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =12,02,\\[4pt] 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4} & =20,72. \end{aligned}
Informações relevantes:
  • Matriz dos coeficientes A e vetor termo independente b:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 2 & 5 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 5 & 6\\[4pt] 4 & 6 & 2 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}7,12\\[4pt]14,90\\[4pt]12,02\\[4pt]20,72\end{pmatrix}.
  • Objetivo: encontrar x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} tal que A x=b usando fatoração A=L U (matriz triangular inferior L com 1 na diagonal e triangular superior U), seguida de resolução por substituição direta e retroativa.]

Passo 2

Rápida aula da técnica (passo-a-passo do método que vamos aplicar).
  • A fatoração A=L U significa escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L (com l_{ii}=1) e uma matriz triangular superior U.
  • Com A=L U e A x=b temos L(U x)=b. Define-se y=U x e resolve-se em duas etapas:
    1. Resolver L y=b por substituição direta (forward substitution).
    2. Resolver U x=y por substituição retroativa (back substitution).
  • No método de Doolittle (o que usarei) as entradas de U na linha 1 são inicialmente iguais às da linha 1 de A, e os l_{i1} são \dfrac{a_{i1}}{u_{11}}. Em geral as fórmulas que usarei são:
u_{jk}=a_{jk}-\sum_{s=1}^{j-1} l_{j s}\,u_{s k}\quad\text{(para }k\ge j\text{)},
l_{i j}=\dfrac{1}{u_{j j}}\left(a_{i j}-\sum_{s=1}^{j-1} l_{i s}\,u_{s j}\right)\quad\text{(para }i>j\text{)}.
Vou aplicar essas fórmulas palco a palco, calculando cada l_{ij} e u_{jk} de forma explícita e numérica.

Passo 3

Início da fatoração (calcular a primeira coluna de L e a primeira linha de U).
  • u_{11}=a_{11}=1.
  • Entradas da primeira linha de U:
u_{12}=a_{12}=1,\qquad u_{13}=a_{13}=2,\qquad u_{14}=a_{14}=4.
  • Entradas da primeira coluna de L (para i>1):
l_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{2}{1}=2,
l_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}}=\dfrac{1}{1}=1,
l_{41}=\dfrac{a_{41}}{u_{11}}=\dfrac{4}{1}=4.

Passo 4

Calcular a segunda linha/coluna de U e segunda coluna de L.
  • Primeiro o pivô u_{22} e demais elementos da linha 2 de U:
u_{22}=a_{22}-l_{21}u_{12}=5-2\cdot 1=3.
u_{23}=a_{23}-l_{21}u_{13}=1-2\cdot 2=1-4=-3.
u_{24}=a_{24}-l_{21}u_{14}=2-2\cdot 4=2-8=-6.
  • Agora os l_{i2} para i>2:
l_{32}=\dfrac{a_{32}-l_{31}u_{12}}{u_{22}}=\dfrac{1-1\cdot 1}{3}=\dfrac{0}{3}=0.
l_{42}=\dfrac{a_{42}-l_{41}u_{12}}{u_{22}}=\dfrac{6-4\cdot 1}{3}=\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Calcular a terceira linha/coluna de U e a terceira coluna de L.
  • Pivô u_{33} e u_{34}:
u_{33}=a_{33}-l_{31}u_{13}-l_{32}u_{23}=5-1\cdot 2-0\cdot(-3)=5-2=3.
u_{34}=a_{34}-l_{31}u_{14}-l_{32}u_{24}=6-1\cdot 4-0\cdot(-6)=6-4=2.
  • Agora l_{43} (pois só i=4 tem i>3):
l_{43}=\dfrac{a_{43}-l_{41}u_{13}-l_{42}u_{23}}{u_{33}} =\dfrac{2-4\cdot 2-\tfrac{2}{3}\cdot(-3)}{3}.
Calcule passo a passo o numerador:
2-4\cdot 2-\tfrac{2}{3}\cdot(-3)=2-8+2= -4,
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l_{43}=\dfrac{-4}{3}=-\dfrac{4}{3}.

Passo 6

Calcular u_{44} (último elemento de U).
u_{44}=a_{44}-l_{41}u_{14}-l_{42}u_{24}-l_{43}u_{34}.
Calcule cada termo:
l_{41}u_{14}=4\cdot 4=16,\qquad l_{42}u_{24}=\tfrac{2}{3}\cdot(-6)=-4,\qquad l_{43}u_{34}=-\tfrac{4}{3}\cdot 2=-\tfrac{8}{3}.
Soma dos produtos:
16+(-4)+\Big(-\tfrac{8}{3}\Big)=12-\tfrac{8}{3}=\tfrac{36-8}{3}=\tfrac{28}{3}.
Portanto
u_{44}=1-\tfrac{28}{3}=\tfrac{3-28}{3}=-\tfrac{25}{3}.

Passo 7

Escrever explicitamente L e U obtidas (úteis para conferência).
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{4}{3} & 1 \end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -3 & -6\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{25}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Resolver L y=b por substituição direta (forward substitution). Escrevo as equações linha a linha:
  • Primeira linha:
y_{1}=7,12.
  • Segunda linha:
y_{2}=14,90-l_{21}y_{1}=14,90-2\cdot 7,12=14,90-14,24=0,66.
  • Terceira linha:
y_{3}=12,02-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2}=12,02-1\cdot 7,12-0\cdot 0,66=4,90.
  • Quarta linha:
y_{4}=20,72-l_{41}y_{1}-l_{42}y_{2}-l_{43}y_{3}.
Calcule os termos:
l_{41}y_{1}=4\cdot 7,12=28,48,\quad l_{42}y_{2}=\tfrac{2}{3}\cdot 0,66=0,44,\quad l_{43}y_{3}=-\tfrac{4}{3}\cdot 4,90=-\tfrac{19,6}{3}\approx -6,533\ldots
Logo
y_{4}=20,72-28,48-0,44-(-6,533\ldots)= -1,666\ldots,
que corresponde exatamente a -\dfrac{5}{3}.

Passo 9

Resolver U x=y por substituição retroativa (back substitution). Escrevo e resolvo de baixo para cima.
  • Quarta equação:
u_{44}x_{4}=y_{4}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{25}{3}x_{4}=-\tfrac{5}{3}.
Portanto
x_{4}=\dfrac{-\tfrac{5}{3}}{-\tfrac{25}{3}}=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}=0,2.
  • Terceira equação:
u_{33}x_{3}+u_{34}x_{4}=y_{3}\quad\Rightarrow\quad 3x_{3}+2x_{4}=4,90.
Substituindo x_{4}=0,2:
3x_{3}=4,90-2\cdot 0,2=4,90-0,4=4,50,
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x_{3}=\dfrac{4,50}{3}=1,50.
  • Segunda equação:
u_{22}x_{2}+u_{23}x_{3}+u_{24}x_{4}=y_{2}\quad\Rightarrow\quad 3x_{2}-3x_{3}-6x_{4}=0,66.
Substituindo x_{3}=1,50 e x_{4}=0,2:
3x_{2}=0,66+3\cdot 1,50+6\cdot 0,2=0,66+4,50+1,20=6,36,
portanto
x_{2}=\dfrac{6,36}{3}=2,12.
  • Primeira equação:
x_{1}+x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=y_{1}=7,12.
Substituindo x_{2},x_{3},x_{4}:
x_{1}=7,12-(2,12+2\cdot 1,50+4\cdot 0,2)=7,12-(2,12+3,00+0,80)=7,12-5,92=1,20.

Passo 10

Breve encorajamento e observação final: foi feita a fatoração A=L U (sem pivotamento) e usadas substituições direta e retroativa para obter a solução; todas as contas foram apresentadas passo a passo. Dá pra revisar os passos mais delicados (cálculo de l_{43} e de u_{44}) se houver dúvida, mas os resultados já estão computados.

Resposta

x_{1}=1,20
x_{2}=2,12
x_{3}=1,50
x_{4}=0,20

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