O enunciado pede resolver o sistema linear por fatoração L U. As equações dadas são (peguei todos os coeficientes e termos independentes do enunciado):
Objetivo: encontrar x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} tal que A x=b usando fatoração A=L U (matriz triangular inferior L com 1 na diagonal e triangular superior U), seguida de resolução por substituição direta e retroativa.]
Passo 2
Rápida aula da técnica (passo-a-passo do método que vamos aplicar).
A fatoração A=L U significa escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L (com l_{ii}=1) e uma matriz triangular superior U.
Com A=L U e A x=b temos L(U x)=b. Define-se y=U x e resolve-se em duas etapas:
Resolver L y=b por substituição direta (forward substitution).
Resolver U x=y por substituição retroativa (back substitution).
No método de Doolittle (o que usarei) as entradas de U na linha 1 são inicialmente iguais às da linha 1 de A, e os l_{i1} são \dfrac{a_{i1}}{u_{11}}. Em geral as fórmulas que usarei são:
Breve encorajamento e observação final: foi feita a fatoração A=L U (sem pivotamento) e usadas substituições direta e retroativa para obter a solução; todas as contas foram apresentadas passo a passo. Dá pra revisar os passos mais delicados (cálculo de l_{43} e de u_{44}) se houver dúvida, mas os resultados já estão computados.