Exercício 2.7. Dê a Fatoração L U de cada matriz e resolva o sistema:
\begin{aligned} 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4} & =6,9 \\\\ -x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+x_{4} & =-6,6 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} & =10,2 \\\\ 4 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}-2 x_{4} & =-12,3 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter a fatoração L U da matriz dos coeficientes do sistema; (2) resolver o sistema linear. As informações dadas (retiradas do enunciado) são:
  • Sistema linear (copiado tal como dado):
\begin{aligned} 2 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}-x_{4} & =6,9 \\\\ -x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+x_{4} & =-6,6 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} & =10,2 \\\\ 4 x_{1}-5 x_{2}+x_{3}-2 x_{4} & =-12,3 \end{aligned}
  • A matriz dos coeficientes A e o vetor b (pegos do enunciado) são:
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & -4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 4 & -5 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}6,9\\[3pt]-6,6\\[3pt]10,2\\[3pt]-12,3\end{pmatrix}.
O que se pede explicitamente:
  • Encontrar matrizes L (triangular inferior com 1s na diagonal) e U (triangular superior) tais que A=L U.
  • Usar essa fatoração para resolver A x = b.]

Passo 2

Breve explicação do método que será usado (sem assumir que já saiba): a fatoração L U corresponde exatamente ao processo de eliminação de Gauss sem pivoteamento. A ideia é escrever a matriz A como produto
A=L\,U,
onde L guarda os multiplicadores usados para zerar entradas abaixo dos pivôs e U é a matriz triangular superior resultante da eliminação. No método de Doolittle (usado aqui) temos \emph{uns} na diagonal de L. Em cada etapa usamos um pivô u_{kk} e calculamos multiplicadores
\ell_{ik}=\dfrac{a_{ik}^{(\text{atual})}}{u_{kk}}
para zerar as entradas abaixo do pivô na coluna k. Esses \ell_{ik} vão para a posição L_{ik}. Vou executar a eliminação passo a passo, mostrando cada multiplicador e cada linha nova da matriz (para que você consiga reproduzir isso na prova).

Passo 3

Etapa 1: pivotamento na primeira coluna com pivô u_{11}=2.
Calculam-se os multiplicadores:
\ell_{21}=\dfrac{a_{21}}{u_{11}}=\dfrac{-1}{2}=-0,5, \qquad \ell_{31}=\dfrac{a_{31}}{u_{11}}=\dfrac{1}{2}=0,5, \qquad \ell_{41}=\dfrac{a_{41}}{u_{11}}=\dfrac{4}{2}=2.
Aplicando as operações nas linhas (linha i \leftarrow linha i - \ell_{i1}\times linha 1) obtemos as novas linhas 2, 3 e 4:
  • Linha 1 (permanece): \bigl[2\;\;3\;\;1\;\;-1\bigr].
  • Linha 2 nova:
[-1,\,1,\,-4,\,1] - (-0,5)\,[2,\,3,\,1,\,-1] = [-1,\,1,\,-4,\,1] + [1,\,1,\,0,\, -0,5] = [0,\,2,5,\,-3,5,\,0,5].
  • Linha 3 nova:
[1,\,1,\,1,\,1] - 0,5\,[2,\,3,\,1,\,-1] = [1,\,1,\,1,\,1] - [1,\,1,\,0,5,\,-0,5] = [0,\,-0,5,\,0,5,\,1,5].
  • Linha 4 nova:
[4,\,-5,\,1,\,-2] - 2\,[2,\,3,\,1,\,-1] = [4,\,-5,\,1,\,-2] - [4,\,6,\,2,\,-2] = [0,\,-11,\,-1,\,0].
Agora a matriz transformada (após etapa 1) é
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2,5 & -3,5 & 0,5\\[4pt] 0 & -0,5 & 0,5 & 1,5\\[4pt] 0 & -11 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Etapa 2: pivot na segunda coluna com pivô u_{22}=2,5.
Multiplicadores desta etapa:
\ell_{32}=\dfrac{a_{32}^{(\text{atual})}}{u_{22}}=\dfrac{-0,5}{2,5}=-0,2, \qquad \ell_{42}=\dfrac{a_{42}^{(\text{atual})}}{u_{22}}=\dfrac{-11}{2,5}=-4,4.
Atualizamos as linhas 3 e 4 usando linha i \leftarrow linha i - \ell_{i2}\times linha 2.
  • Linha 3 nova:
[0,\,-0,5,\,0,5,\,1,5] - (-0,2)\,[0,\,2,5,\,-3,5,\,0,5] = [0,\,-0,5,\,0,5,\,1,5] + [0,\,0,5,\,-0,7,\,0,1] = [0,\,0,\,-0,2,\,1,6].
(Detalhe: 0,5 + (-0,2)\cdot(-3,5)=0,5-0,7=-0,2; 1,5+(-0,2)\cdot0,5=1,5+0,1=1,6.)
  • Linha 4 nova:
[0,\,-11,\,-1,\,0] - (-4,4)\,[0,\,2,5,\,-3,5,\,0,5] = [0,\,-11,\,-1,\,0] + [0,\,11,\,-15,4,\,2,2] = [0,\,0,\,-16,4,\,2,2].
(Detalhe: 4,4\cdot2,5=11; 4,4\cdot(-3,5)=-15,4; 4,4\cdot0,5=2,2.)
A matriz após etapa 2 fica
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2,5 & -3,5 & 0,5\\[4pt] 0 & 0 & -0,2 & 1,6\\[4pt] 0 & 0 & -16,4 & 2,2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Etapa 3: pivot na terceira coluna com pivô u_{33}=-0,2.
Multiplicador:
\ell_{43}=\dfrac{a_{43}^{(\text{atual})}}{u_{33}}=\dfrac{-16,4}{-0,2}=82.
Zeramos a entrada (4,3) com a operação linha 4 \leftarrow linha 4 -\ell_{43}\times linha 3:
  • Linha 4 nova:
[0,\,0,\,-16,4,\,2,2] - 82\,[0,\,0,\,-0,2,\,1,6] = [0,\,0,\,0,\,-129,0].
(Detalhe: 82\cdot(-0,2)=-16,4, 82\cdot1,6=131,2, e 2,2-131,2=-129,0.)
Agora a matriz U final (triangular superior) é
U=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2,5 & -3,5 & 0,5\\[4pt] 0 & 0 & -0,2 & 1,6\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -129 \end{pmatrix}.
E a matriz L (com os multiplicadores colocados abaixo da diagonal e 1s na diagonal) é
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -0,5 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0,5 & -0,2 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -4,4 & 82 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (conceito): multiplicando L U recuperaria A — é exatamente a relação estabelecida pela eliminação.]

Passo 6

Agora resolvemos o sistema A x = b usando a fatoração: primeiro resolve-se
L y = b
por substituição direta (forward substitution), depois
U x = y
por retro-substituição (back substitution). Vou calcular y elemento a elemento explicando cada passo.
Escrevendo y=(y_1,y_2,y_3,y_4)^T e usando as linhas de L:
  • Primeira equação: 1\cdot y_1 = b_1. Assim
y_1 = b_1 = 6,9.
  • Segunda equação: -0,5\,y_1 + 1\cdot y_2 = b_2. Então
y_2 = b_2 + 0,5\,y_1 = -6,6 + 0,5\cdot6,9 = -6,6 + 3,45 = -3,15.
  • Terceira equação: 0,5\,y_1 -0,2\,y_2 + 1\cdot y_3 = b_3. Logo
y_3 = b_3 - 0,5\,y_1 + 0,2\,y_2.
Substituindo os valores:
y_3 = 10,2 - 0,5\cdot6,9 + 0,2\cdot(-3,15) = 10,2 - 3,45 - 0,63 = 6,12.
(Nota: 0,2\cdot(-3,15)=-0,63, por isso soma-se -0,63.)
  • Quarta equação: 2\,y_1 -4,4\,y_2 +82\,y_3 + 1\cdot y_4 = b_4. Então
y_4 = b_4 - 2\,y_1 + 4,4\,y_2 -82\,y_3.
Cálculo passo a passo:
2\,y_1 = 2\cdot6,9 = 13,8,
4,4\,y_2 = 4,4\cdot(-3,15) = -13,86 \quad\text{(atenção ao sinal)},çã
82\,y_3 = 82\cdot6,12 = 501,84.
Assim
y_4 = -12,3 - 13,8 - 13,86 - 501,84 = -541,8.
(Observação de sinais: y_4 = b_4 - (2y_1) -(-4,4y_2) - (82y_3), mas como l_{42}=-4,4 e a equação é -4,4 y_2 no lado esquerdo, ao isolar y_4 os sinais ficam conforme feito.)
Resumo do vetor y:
y=\begin{pmatrix}6,9\\[3pt]-3,15\\[3pt]6,12\\[3pt]-541,8\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora resolvemos U x = y por retro-substituição. Escrevendo x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T e usando as linhas de U (da última para a primeira):
  • Última linha ( 4-a): -129\,x_4 = y_4. Portanto
x_4 = \dfrac{y_4}{-129} = \dfrac{-541,8}{-129} = 4,2.
  • Terceira linha: -0,2\,x_3 + 1,6\,x_4 = y_3. Isolando x_3:
-0,2\,x_3 = y_3 - 1,6\,x_4.
Substituindo y_3=6,12 e x_4=4,2:
-0,2\,x_3 = 6,12 - 1,6\cdot4,2 = 6,12 - 6,72 = -0,6.
Logo
x_3 = \dfrac{-0,6}{-0,2} = 3.
  • Segunda linha: 2,5\,x_2 -3,5\,x_3 +0,5\,x_4 = y_2. Isolando x_2:
2,5\,x_2 = y_2 + 3,5\,x_3 -0,5\,x_4.
Substituindo y_2=-3,15, x_3=3, x_4=4,2:
2,5\,x_2 = -3,15 + 3,5\cdot3 - 0,5\cdot4,2 = -3,15 + 10,5 - 2,1 = 5,25.
Portanto
x_2 = \dfrac{5,25}{2,5} = 2,1.
  • Primeira linha: 2\,x_1 + 3\,x_2 + 1\,x_3 -1\,x_4 = y_1. Isolando x_1:
2\,x_1 = y_1 - 3\,x_2 - x_3 + x_4.
Substituindo y_1=6,9, x_2=2,1, x_3=3, x_4=4,2:
2\,x_1 = 6,9 - 3\cdot2,1 - 3 + 4,2 = 6,9 - 6,3 - 3 + 4,2 = 1,8.
Logo
x_1 = \dfrac{1,8}{2} = 0,9.
Assim obtemos a solução final.

Resposta

x_{1}=0,9
x_{2}=2,1
x_{3}=3
x_{4}=4,2

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