A perda que as instituições financeiras sofrem com clientes inadimplentes pode ser mensurada de diversas formas. Uma métrica muito utilizada nesse contexto é a LGD (do inglês, Loss Given Default), que nada mais é do que o percentual de perdas de um contrato no momento da inadimplência. Um analista de crédito de um banco localizado na cidade de Curitiba foi escalado para formular um modelo estatístico que possa descrever e prever o comportamento dessa variável. Os dados apresentados na tabela a seguir referem-se a uma amostra aleatória com a LGD de 12 contratos da carteira de empréstimo imobiliário desta instituição.
88,18
71,44
70,56
52,92
24,15
73,62
50,28
26,81
63,24
35,6
79,01
88,63
Suponha que a LGD seja uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por
para
.
Obtenha a estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro
. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta:
88,18 | 71,44 | 70,56 | 52,92 |
24,15 | 73,62 | 50,28 | 26,81 |
63,24 | 35,6 | 79,01 | 88,63 |
Obtenha a estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra
das LGD em porcentagem e supõe que a variável aleatória
tem densidade
Queremos obter a estimativa de máxima verossimilhança (MLE) de
.
Passo 2
Como os dados estão em porcentagem, primeiro convertemos cada valor para fração no intervalo
via
Passo 3
A verossimilhança para a amostra i.i.d. é
O logaritmo da verossimilhança é
Passo 4
Derivando
em relação a
e igualando a zero, obtemos
Passo 5
Calculando numericamente
e depois
para cada
, obtemos aproximadamente
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