A perda que as instituições financeiras sofrem com clientes inadimplentes pode ser mensurada de diversas formas. Uma métrica muito utilizada nesse contexto é a LGD (do inglês, Loss Given Default), que nada mais é do que o percentual de perdas de um contrato no momento da inadimplência. Um analista de crédito de um banco localizado na cidade de Curitiba foi escalado para formular um modelo estatístico que possa descrever e prever o comportamento dessa variável. Os dados apresentados na tabela a seguir referem-se a uma amostra aleatória com a LGD de 12 contratos da carteira de empréstimo imobiliário desta instituição.
88,18 71,44 70,56 52,92
24,15 73,62 50,28 26,81
63,24 35,6 79,01 88,63
Suponha que a LGD seja uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por
f(x ; \theta)=3 \theta x^{2}\left(1-x^{3}\right)^{\theta-1}, \quad x \in(0,1)
para \theta \in \mathbb{R}_{+}.
Obtenha a estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro \theta. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra x_1,\dots,x_{12} das LGD em porcentagem e supõe que a variável aleatória X tem densidade
f(x;\theta)=3\,\theta\,x^2\bigl(1 - x^3\bigr)^{\theta-1},\quad x\in(0,1),\;\theta>0.
Queremos obter a estimativa de máxima verossimilhança (MLE) de \theta.

Passo 2

Como os dados estão em porcentagem, primeiro convertemos cada valor para fração no intervalo (0,1) via
x_i = \frac{\text{LGD}_i}{100},\quad i=1,\dots,12.

Passo 3

A verossimilhança para a amostra i.i.d. é
L(\theta) =\prod_{i=1}^{12}3\,\theta\,x_i^2\bigl(1 - x_i^3\bigr)^{\theta-1}.
O logaritmo da verossimilhança é
\ell(\theta) =12\ln(3\theta)+2\sum_{i=1}^{12}\ln x_i+(\theta-1)\sum_{i=1}^{12}\ln\bigl(1 - x_i^3\bigr).

Passo 4

Derivando \ell(\theta) em relação a \theta e igualando a zero, obtemos
\frac{d\ell}{d\theta} =\frac{12}{\theta}+\sum_{i=1}^{12}\ln\bigl(1 - x_i^3\bigr) =0 \quad\Longrightarrow\quad \hat\theta =-\frac{12}{\displaystyle\sum_{i=1}^{12}\ln\bigl(1 - x_i^3\bigr)}.

Passo 5

Calculando numericamente x_i^3 e depois \ln\bigl(1 - x_i^3\bigr) para cada i, obtemos aproximadamente
\sum_{i=1}^{12}\ln\bigl(1 - x_i^3\bigr)\approx -5{,}0856.
Logo
\hat\theta =-\frac{12}{-5{,}0856} \approx2{,}3597.

Resposta

\displaystyle \hat\theta = 2{,}3597

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