Deseja-se estudar a presença de dois fatores genéticos A e B em pacientes com uma certa patologia. Sabe-se por estudos médicos que pacientes com esta patologia apresentam o fator genético A com probabilidade de 60% e os dois fatores A e B com probabilidade de 18%. Sabe-se também que os dois fatores são independentes. Sob estas condições, calcule
(a) a probabilidade de um paciente com a dada patologia não apresentar nenhum dos fatores;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer estudar a presença de dois fatores genéticos, chamados A e B, em pacientes com uma certa doença. Sabemos que:
  • A probabilidade de um paciente ter o fator A é de 60% (ou 0,60).
  • A probabilidade de ter ambos os fatores A e B é de 18% (ou 0,18).
  • Além disso, os fatores A e B são independentes, ou seja, a presença de um não interfere na presença do outro.
Com base nisso, vamos calcular a probabilidade de um paciente não apresentar nenhum dos fatores A nem B.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa fatores independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
P(A cap B) = P(A) times P(B)
Onde:
  • $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de ambos os eventos acontecerem.
  • $ P(A) $ é a probabilidade do evento A acontecer.
  • $ P(B) $ é a probabilidade do evento B acontecer.

Passo 3

A gente já sabe que $ P(A) = 0,60 $ e $ P(A \cap B) = 0,18 $. Como os eventos são independentes, podemos encontrar $ P(B) $ usando a fórmula da independência:
P(A) = 0,60
Agora, vamos isolar $ P(B) $:
P(A cap B) = 0,18
Então, a probabilidade de um paciente ter o fator B é de 30%.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de um paciente não ter nenhum dos dois fatores, ou seja, não ter A e não ter B. Isso pode ser representado por $ P(\overline{A} \cap \overline{B}) $.
Como os eventos são independentes, a probabilidade de não ter A e não ter B é igual ao produto das probabilidades de não ter A e de não ter B:
P(A cap B)
Onde:
  • $ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,60 = 0,40 $
  • $ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,30 = 0,70 $

Passo 5

Agora, basta multiplicar essas probabilidades:
P(A cap B) = 0,40 times 0,70 = 0,28

Resposta

A probabilidade de um paciente não apresentar nenhum dos fatores genéticos A nem B é de 28%.

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