Deseja-se estudar a presença de dois fatores genéticos
e
em pacientes com uma certa patologia. Sabe-se por estudos médicos que pacientes com esta patologia apresentam o fator genético A com probabilidade de 60% e os dois fatores A e B com probabilidade de 18%. Sabe-se também que os dois fatores são independentes. Sob estas condições, calcule
(a) a probabilidade de um paciente com a dada patologia não apresentar nenhum dos fatores;
(a) a probabilidade de um paciente com a dada patologia não apresentar nenhum dos fatores;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer estudar a presença de dois fatores genéticos, chamados A e B, em pacientes com uma certa doença. Sabemos que:
- A probabilidade de um paciente ter o fator A é de 60% (ou 0,60).
- A probabilidade de ter ambos os fatores A e B é de 18% (ou 0,18).
- Além disso, os fatores A e B são independentes, ou seja, a presença de um não interfere na presença do outro.
Com base nisso, vamos calcular a probabilidade de um paciente não apresentar nenhum dos fatores A nem B.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa fatores independentes. Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro. Matematicamente, isso é representado por:
Onde:
- $ P(A \cap B) $ é a probabilidade de ambos os eventos acontecerem.
- $ P(A) $ é a probabilidade do evento A acontecer.
- $ P(B) $ é a probabilidade do evento B acontecer.
Passo 3
A gente já sabe que $ P(A) = 0,60 $ e $ P(A \cap B) = 0,18 $. Como os eventos são independentes, podemos encontrar $ P(B) $ usando a fórmula da independência:
Agora, vamos isolar $ P(B) $:
Então, a probabilidade de um paciente ter o fator B é de 30%.
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de um paciente não ter nenhum dos dois fatores, ou seja, não ter A e não ter B. Isso pode ser representado por $ P(\overline{A} \cap \overline{B}) $.
Como os eventos são independentes, a probabilidade de não ter A e não ter B é igual ao produto das probabilidades de não ter A e de não ter B:
Onde:
- $ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,60 = 0,40 $
- $ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,30 = 0,70 $
Passo 5
Agora, basta multiplicar essas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de um paciente não apresentar nenhum dos fatores genéticos A nem B é de 28%.