Suponha uma v.a. contínua Y exponencial tal que: Y sim Exp(2).
Calcule a E(Y) e a V(Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre uma variável aleatória contínua, chamada $ Y $, que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 2 $, ou seja, $ Y \sim \operatorname{Exp}(2) $. A gente precisa calcular a esperança matemática $ E(Y) $ e a variância $ V(Y) $ dessa variável. Para isso, vamos usar as fórmulas da distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a esperança matemática $ E(Y) $. Ela representa o valor médio que essa variável aleatória pode assumir. Para a distribuição exponencial, a fórmula para calcular a esperança é:
E(Y)
Aqui, $ \lambda $ é o parâmetro da distribuição exponencial, que no nosso caso é 2.

Passo 3

Vamos calcular $ E(Y) $ usando a fórmula:
E(Y)
Então, a esperança matemática de $ Y $ é 0,5.

Passo 4

Agora, vamos para a variância $ V(Y) $. A variância mede o quanto os valores da variável aleatória estão espalhados em relação à média. Para a distribuição exponencial, a fórmula da variância é:
V(Y)
Novamente, usando $ \lambda = 2 $.

Passo 5

Vamos calcular $ V(Y) $ com a fórmula:
V(Y)
Então, a variância de $ Y $ é 0,25.

Resposta

A esperança matemática $ E(Y) $ é 0,5 e a variância $ V(Y) $ é 0,25.

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