Suponha uma v.a. contínua
exponencial tal que:
.
Calcule a
e a
.
Calcule a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre uma variável aleatória contínua, chamada $ Y $, que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 2 $, ou seja, $ Y \sim \operatorname{Exp}(2) $. A gente precisa calcular a esperança matemática $ E(Y) $ e a variância $ V(Y) $ dessa variável. Para isso, vamos usar as fórmulas da distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a esperança matemática $ E(Y) $. Ela representa o valor médio que essa variável aleatória pode assumir. Para a distribuição exponencial, a fórmula para calcular a esperança é:
Aqui, $ \lambda $ é o parâmetro da distribuição exponencial, que no nosso caso é 2.
Passo 3
Vamos calcular $ E(Y) $ usando a fórmula:
Então, a esperança matemática de $ Y $ é 0,5.
Passo 4
Agora, vamos para a variância $ V(Y) $. A variância mede o quanto os valores da variável aleatória estão espalhados em relação à média. Para a distribuição exponencial, a fórmula da variância é:
Novamente, usando $ \lambda = 2 $.
Passo 5
Vamos calcular $ V(Y) $ com a fórmula:
Então, a variância de $ Y $ é 0,25.
Resposta
A esperança matemática $ E(Y) $ é 0,5 e a variância $ V(Y) $ é 0,25.