Suponha uma v.a. contínua
exponencial tal que:
.
Escreva a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de
, ou seja,
.
Escreva a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ Y $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 2 $. O que a gente precisa fazer é encontrar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de $ Y $, ou seja, $ F(y) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo que ocorre continuamente e de forma independente. A distribuição exponencial tem uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
No nosso caso, $ \lambda = 2 $, então a f.d.p. de $ Y $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar a função de distribuição acumulada $ F(y) $, a gente precisa integrar a função de densidade de $ -\infty $ até $ y $. Porém, como a distribuição exponencial só é diferente de zero para $ y \geq 0 $, a integração fica de $ 0 $ até $ y $.
Então, a f.d.a. é dada por:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A integral de $ e^{-2t} $ em relação a $ t $ é $ -\frac{1}{2} e^{-2t} $. Aplicando os limites de $ 0 $ a $ y $, temos:
Resposta
A função de distribuição acumulada de $ Y $ é: