Deseja-se medir a aceleração da gravidade g em Ouro Branco, realizando experimentos no Laboratório de Física do CAP. Para isso, são feitas medições do período T de um pêndulo e o comprimento da corda L que liga o corpo de massa m , determinando-se os seus valores e as incertezas dessas grandezas. Os resultados obtidos são L=(5,00 \pm 0,02) \mathrm{m} e T=(4,5 \pm 0,5) \mathrm{s}. Marque a opção que melhor representa o valor da a aceleração da gravidade local g e o seu erro, sabendo que T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}
Escolha uma opção:
(9,7378 \pm 0,69) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}
(9,7 \pm 0,69) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}
(9,74 \pm 0,699) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}
não sei
(9,7 \pm 0,7) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para medir a gravidade local g usando um pêndulo simples, cuja relação entre período T, comprimento L e g é
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.
Temos as medidas
L = (5{,}00 \pm 0{,}02)\,\mathrm{m},\quad T = (4{,}5 \pm 0{,}5)\,\mathrm{s}.
Para resolver, vamos:
1. Isolar g em função de L e T.
2. Calcular o valor central de g.
3. Propagar as incertezas usando derivadas parciais.
4. Arredondar e comparar com as opções dadas.

Passo 2

Isolando g em
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
temos
T^2 = 4\pi^2\,\frac{L}{g} \quad\Longrightarrow\quad g = \frac{4\pi^2\,L}{T^2}.
Substituindo os valores centrais L=5{,}00 e T=4{,}5,
g = \frac{4\pi^2 \times 5{,}00}{(4{,}5)^2} \approx 9{,}75\;\mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Para propagar incertezas usamos
(\Delta g)^2 = \Bigl(\frac{\partial g}{\partial L}\,\Delta L\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial g}{\partial T}\,\Delta T\Bigr)^2.
Calculando as derivadas:
\frac{\partial g}{\partial L} = \frac{4\pi^2}{T^2} \approx 1{,}95\quad\text{e}\quad \frac{\partial g}{\partial T} = -\,\frac{8\pi^2\,L}{T^3} \approx -4{,}33.
Então
\Delta g = \sqrt{(1{,}95 \times 0{,}02)^2 + (4{,}33 \times 0{,}5)^2} \approx 2{,}17\;\mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Arredondando g e \Delta g com apenas uma casa decimal (para combinar com as opções), obtemos
g \approx 9{,}7\;\mathrm{m/s^2}, \quad \Delta g \approx 0{,}7\;\mathrm{m/s^2}.

Resposta

( 9,7\pm 0,7) m/ s^{2}

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