Questä́o 3 (3pts): Considere duas cargas, q_{1} e q_{2} localizadas nos pontos de coordenades (a, 0,0) e (-a, 0,0), respectivamente. Determine uma expressão para o campo elétrico no ponto de coordenada:
a) (0, y, 0), se q_{1}=+q \in q_{2}=+q;
b) (0, y, 0), se q_{1}=+q e q_{2}=-q;
c) (0, y, 0), se q_{1}=-q \in q_{2}=+q;
d) Dado que y =2 \mathrm{~m}, a=2 \mathrm{me}, q=2 \mathrm{C}. Qual o valor de uma carga q^{\prime} colocada no ponto de coordenada (0,0,0), para que o campo se anule na configuraçăo do item a).

Passo 1

O enunciado tem duas cargas q_{1} e q_{2} fixas em (a,0,0) e (-a,0,0). Queremos o campo elétrico no ponto P=(0,y,0) para três configurações de sinais de q_{1},q_{2} e, no item (d), achar uma carga q' em (0,0,0) que anule o campo na configuração do item (a). Usaremos a lei de Coulomb em forma vetorial e soma vetorial dos campos.

Passo 2

Seja k=1/(4\pi\varepsilon_{0}). O vetor posição de P é \mathbf r=(0,y,0). As contribuições dos dois pontos
\mathbf r_{1}=(a,0,0),\quad \mathbf r_{2}=(-a,0,0)
são
\mathbf E_{1} = k\,q_{1}\,\frac{\mathbf r-\mathbf r_{1}}{\|\mathbf r-\mathbf r_{1}\|^{3}} = k\,q_{1}\,\frac{(-a\,\hat\imath + y\,\hat\jmath)}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}
\mathbf E_{2} = k\,q_{2}\,\frac{\mathbf r-\mathbf r_{2}}{\|\mathbf r-\mathbf r_{2}\|^{3}} = k\,q_{2}\,\frac{( \,a\,\hat\imath + y\,\hat\jmath)}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 3

Para q_{1}=+q e q_{2}=+q, soma-se
\mathbf E =\mathbf E_{1}+\mathbf E_{2} = k\,q\,(a^{2}+y^{2})^{-3/2}\big[(-a+a)\,\hat\imath+(y+y)\,\hat\jmath\big] = \frac{2\,k\,q\,y}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}\;\hat\jmath.

Passo 4

Para q_{1}=+q e q_{2}=-q, temos
\mathbf E = k\,q\,(a^{2}+y^{2})^{-3/2}\big[(-a)\,\hat\imath + y\,\hat\jmath\big] \;+\;k\,(-q)\,(a^{2}+y^{2})^{-3/2}\big[a\,\hat\imath + y\,\hat\jmath\big]
= \frac{k\,q}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}\big[(-a - a)\,\hat\imath + (y - y)\,\hat\jmath\big] = -\frac{2\,k\,q\,a}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}\;\hat\imath.

Passo 5

Para q_{1}=-q e q_{2}=+q, invertem-se os sinais de \mathbf E_{1}, resultando
\mathbf E = k\,q\,(a^{2}+y^{2})^{-3/2}\big[(a+a)\,\hat\imath +(-y+y)\,\hat\jmath\big] = \frac{2\,k\,q\,a}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}\;\hat\imath.

Passo 6

No item (d) usamos a configuração do item (a). Além de \mathbf E_{1}+\mathbf E_{2} em \hat\jmath, há \mathbf E_{3} de q' em (0,0,0):
\mathbf E_{3} = k\,q'\,\frac{\mathbf r-(0,0,0)}{\|\mathbf r\|^{3}} = k\,q'\,\frac{y\,\hat\jmath}{y^{3}} = \frac{k\,q'}{y^{2}}\;\hat\jmath.
Para anular o campo total em P basta
\frac{2\,k\,q\,y}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}} \;+\;\frac{k\,q'}{y^{2}} \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad q'=-\,2\,q\,\frac{y^{3}}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 7

Substituindo y=2\,\mathrm m, a=2\,\mathrm m, q=2\,\mathrm C:
a^{2}+y^{2}=8,\quad (a^{2}+y^{2})^{3/2}=8\sqrt{8}=16\sqrt2,\quad y^{3}=8,
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q'=-2\cdot2\cdot\frac{8}{16\sqrt2} =-\frac{32}{16\sqrt2} =-\frac{2}{\sqrt2} =-\sqrt2\\ \mathrm C\\ (\approx -1,414\mathrm C).

Resposta

a) \displaystyle \mathbf E=\frac{2\,k\,q\,y}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}\;\hat\jmath.
b) \displaystyle \mathbf E=-\frac{2\,k\,q\,a}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}\;\hat\imath.
c) \displaystyle \mathbf E=+\frac{2\,k\,q\,a}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}\;\hat\imath.
d) \displaystyle q'=-2\,q\,\frac{y^{3}}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}}, numericamente q'=-\sqrt2\\ \mathrm C.

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