Deseja-se montar um aquecedor elétrico, por imersão, que será ligado em uma ddp constante. Para isso, dispõe-se de três resistores: um de 30Ω, um de 20Ω e outro de 10Ω. Para o aquecedor ter máxima potencia possível, seve se usar?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A gente quer montar um aquecedor elétrico que vai ser ligado a uma tensão constante (ddp constante). Temos três resistores disponíveis com resistências de 30Ω, 20Ω e 10Ω. O objetivo é combinar esses resistores de forma que a potência máxima seja obtida pelo aquecedor. Para isso, vamos precisar entender como a combinação de resistores em série e em paralelo afeta a resistência total e, consequentemente, a potência elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da potência elétrica quando a tensão é constante. A potência $ P $ pode ser calculada pela fórmula:
P
Onde:
  • $ P $ é a potência,
  • $ V $ é a tensão (ddp) constante,
  • $ R $ é a resistência total.
Como a tensão $ V $ é constante, para maximizar a potência $ P $, precisamos minimizar a resistência total $ R $.

Passo 3

Agora, vamos analisar como combinar os resistores para obter a menor resistência possível. Temos três resistores: 30Ω, 20Ω e 10Ω. Existem duas maneiras principais de combinar resistores: em série e em paralelo.
  • Em série: A resistência total é a soma das resistências individuais.
    Rtotal = R1 + R2 + R3
  • Em paralelo: A resistência total é calculada pela fórmula:
    1Rtotal = 1R1 + 1R2 + 1R3
Como queremos a menor resistência possível, vamos analisar a combinação em paralelo, que geralmente resulta em uma resistência menor que qualquer resistor individual.

Passo 4

Vamos calcular a resistência total quando os três resistores são conectados em paralelo.
1Rtotal = 130 + 120 + 110
Primeiro, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) para facilitar a soma dos inversos.
MMC de 30, 20 e 10 é 60.
1Rtotal = 260 + 360 + 660 = 1160
Agora, invertendo para encontrar $ R_{total} $:
Rtotal

Passo 5

Com a resistência total calculada em aproximadamente 5,45Ω, podemos agora usar a fórmula da potência para encontrar a potência máxima.
P = V^2Rtotal = V^25,45
Como a tensão $ V $ é constante, essa configuração nos dá a potência máxima possível com os resistores disponíveis.

Resposta

Para obter a potência máxima no aquecedor, devemos conectar os resistores de 30Ω, 20Ω e 10Ω em paralelo. A resistência total será aproximadamente $ 5,45,Ω $, e a potência máxima será dada por $ P = \frac{V^2}{5,45} $.

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