Deseja-se projetar um CSTR para a reação, em fase gasosa do tipo: \mathrm{A} \rightarrow 3 B. Com alimentação \mathrm{C}_{\mathrm{AO}}= 0,5 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, \mathrm{C}_{\mathrm{BO}}=0,12 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, \mathrm{v}_{\mathrm{O}}=2,2 \mathrm{~L} / \mathrm{min} e conversão na saída de 70 \% do A alimentado. Sabendose que \mathrm{k}=0,35 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}.Min. Determine:
a) O volume do reator.
b) A concentração de B na saída.
c) É esperado que haja variação considerável de pressão no reator? Por quê?

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede e o que temos):
  • Reação gasosa: \mathrm{A} \rightarrow 3\,\mathrm{B}.
  • Concentrações na alimentação: \mathrm{C}_{\mathrm{A}0}=0,5\\ \mathrm{mol/L} e \mathrm{C}_{\mathrm{B}0}=0,12\\ \mathrm{mol/L}.
  • Vazão volumétrica de alimentação: \mathrm{v}_0=2,2\\ \mathrm{L/min}.
  • Conversão desejada na saída (do A): X=70\%=0,70.
  • Constante cinética informada: k=0,35\\ \mathrm{L/mol\cdot min}.
  • O que é pedido:
    a) Volume do reator ( V).
    b) Concentração de B na saída ( C_{B,\text{saida}}).
    c) Se se espera variação considerável de pressão no reator e por quê.

Passo 2

Decisões e suposições necessárias (explicadas de forma didática, sem pular etapas):
  • Para projetar um CSTR usamos o balanço molar em regime permanente para a espécie limitante A: F_{A0} - F_A + V r_A = 0,onde F_{A0} e F_A são os fluxos molares (mol/min) de A na entrada e saída, V é o volume do reator (L) e r_A é a taxa volumétrica de consumo de A (mol/L·min), avaliada às condições de saída do CSTR.
  • Precisamos saber a lei de velocidade. Usamos análise de unidades para identificar o ordem: k tem unidades \mathrm{L/mol\cdot min}. Para que r_A (mol/L·min) seja obtido por k C_A^n devemos ter unidades de k iguais a (\mathrm{L/mol})^{\,1-n}\mathrm{min}^{-1}. Se n=2 (segunda ordem em A) então k tem unidades \mathrm{L/mol\cdot min}, compatível com o dado. Portanto assumimos a lei r_A = -k C_A^2.Observação: isso é a escolha razoável dado o valor de k; se o enunciado tivesse pretendido ordem 1, k seria em \mathrm{min^{-1}}. Mostrar esse raciocínio de unidades é importante na prova.
  • Outro ponto: como a reação é gasosa e a estequiometria muda o número de mols (de 1 mol de A formam-se 3 mol de B, mudança líquida +2 mol por mol de A reagido), o fluxo volumétrico pode variar entre entrada e saída se a pressão e temperatura forem constantes (ideal-gás). Vamos fazer os balanços levando em conta a variação do número total de mols (ou seja, permitiremos que a vazão volumétrica na saída seja diferente da alimentação, calculando-a a partir do balanço de mols totais).

Passo 3

Cálculos dos fluxos molares de entrada (ensino passo a passo):
  • Fluxo molar de A na alimentação: F_{A0} = v_0 C_{A0} = 2,2\cdot 0,5 = 1,1\\ \mathrm{mol/min}.
  • Fluxo molar de B na alimentação: F_{B0} = v_0 C_{B0} = 2,2\cdot 0,12 = 0,264\\ \mathrm{mol/min}.
  • Fluxo molar total na alimentação (somando A e B; assumimos só essas espécies): F_{T0} = F_{A0}+F_{B0} = 1,1 + 0,264 = 1,364\\ \mathrm{mol/min}.

Passo 4

Expressões dos fluxos na saída em função da conversão (explicando a lógica estequiométrica):
  • Para A: a conversão X é a fração de A que reagiu, logo o fluxo de A na saída é F_A = F_{A0}(1-X) = 1,1(1-0,70) = 1,1\cdot 0,30 = 0,33\\ \mathrm{mol/min}.
  • Cada mol de A reagido (por minuto) gera 3 mol de B. O fluxo de A reagido por minuto é F_{A0}X. Então o fluxo de B na saída é: F_B = F_{B0} + 3\cdot F_{A0}X.Substituindo: F_B = 0,264 + 3\cdot 1,1\cdot 0,70 = 0,264 + 3\cdot 0,77 = 0,264 + 2,31 = 2,574\\ \mathrm{mol/min}.
  • Fluxo molar total na saída: F_T = F_A + F_B = 0,33 + 2,574 = 2,904\\ \mathrm{mol/min}.

Passo 5

Cálculo da vazão volumétrica de saída (ligando número de mols a vazão, importante para gases ideais):
  • Para um gás ideal a mesma razão entre vazões volumétricas e fluxos molares se mantém: v é proporcional a F_T quando temperatura e pressão são iguais. Assim a vazão volumétrica na saída v relaciona-se com a de entrada v_0 por v = v_0\frac{F_T}{F_{T0}}.
  • Substituindo números: v = 2,2\cdot\frac{2,904}{1,364} = 2,2\cdot 2,1286\approx 4,683\\ \mathrm{L/min}.Comentário: a vazão volumétrica mais que dobrou porque o número total de mols aumentou devido à reação.

Passo 6

Cálculo das concentrações de saída (especialmente C_A, que entra na taxa r_A):
  • Concentração de A na saída: C_A = \frac{F_A}{v} = \frac{0,33}{4,683} \approx 0,07052\\ \mathrm{mol/L}.Expliquei: usamos C = F/v porque F é mol/min e v é L/min, resultando em mol/L.
  • Agora aplicamos a lei de velocidade assumida ( r_A = -k C_A^2): r_A = -0,35\cdot (0,07052)^2.Calculando: (0,07052)^2 \approx 0,004973,
r_A \approx -0,35\cdot 0,004973 \approx -0,0017406\\ \mathrm{mol/(L\cdot min)}.
Nota: sinal negativo indica consumo de A; para o balanço usamos o módulo -r_A=0,0017406.

Passo 7

Cálculo do volume do CSTR usando a equação de projeto (ensino do conceito):
  • Equação clássica de projeto para CSTR (espécie A) em regime permanente: F_{A0}X = V(-r_A)_{\text{saída}}.íIsolando V: V = \frac{F_{A0}X}{-r_A}.
  • Substituindo valores: V = \frac{1,1\cdot 0,70}{0,0017406} = \frac{0,77}{0,0017406} \approx 442,5\\ \mathrm{L}.Arredondando razoavelmente para dois ou três algarismos significativos: V\approx 443\\ \mathrm{L}.

Passo 8

Cálculo direto da concentração de B na saída (pedida no item b):
  • Já temos F_B e v. Logo C_{B,\text{saida}} = \frac{F_B}{v} = \frac{2,574}{4,683} \approx 0,5498\\ \mathrm{mol/L}.Arredondando: C_{B,\text{saida}}\approx 0,550\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 9

Resposta qualitativa sobre variação de pressão (item c) — explicando com argumentos simples:
  • Observação chave: a reação aumenta o número total de mols (para cada mol de A consumido, o total aumenta em +2 mols). Calculamos que o fluxo molar total passou de F_{T0}=1,364\\ \mathrm{mol/min} para F_T=2,904\\ \mathrm{mol/min}, ou seja, mais que o dobro.
  • Se o reator operasse em volume constante e a temperatura também fosse constante, pelo comportamento do gás ideal ( pV = nRT ) a pressão tenderia a aumentar na mesma razão do aumento de mols — uma alteração grande. Em muitas plantas a pressão é controlada (válvulas, venting) e a vazão volumétrica se ajusta; mas, sem controle de pressão, haveria variação considerável.
  • Conclusão prática: sim, é esperado que haja variação considerável associada à reação, porque há um aumento grande no número de mols (mais que o dobro do total de mols), logo efeitos de pressão/densidade não devem ser negligenciados a menos que haja controle explícito de pressão.

Resposta

a) V \approx 443\\ \mathrm{L}
b) C_{B,\text{saida}} \approx 0,550\\ \mathrm{mol/L}
c) Sim — há variação considerável esperada, porque o número total de mols aumenta de 1,364 para 2,904\\ \mathrm{mol/min} (mais que o dobro), o que implica grande mudança de pressão ou de vazão volumétrica se temperatura/volume forem mantidos.

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