Um reator PFR de volume V1 e um reator CSTR de volume V2 de modo que V2 = 2V1, operam em sistema paralelo. A reação ocorre seguindo uma cinética de primeira ordem em fase aquosa (A \rightarrow B), considerando que a alimentação é introduzida da seguinte forma: 30 \% de \mathrm{F}_{\mathrm{AO}} é introduzida no PFR e o restante no CSTR. Pede-se: (considere que \tau k=1 ).
Considerando sistema em paralelo dos dois reatores. A conversão em cada reator e a conversão global.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre: a conversão no reator PFR, a conversão no reator CSTR e a conversão global do sistema paralelo.
Informações dadas (vou listar tudo que precisamos usar):
  • Volumes: V_{2}=2V_{1}.
  • Fração da alimentação: 30\% da vazão de alimentação vai para o PFR e 70\% vai para o CSTR. Vou chamar essas frações de f_{1}=0{,}3 (PFR) e f_{2}=0{,}7 (CSTR).
  • Cinética: reação de primeira ordem homogênea A\to B com constante k.
  • Informação adicional: "considere que \tau k=1". Vou interpretar essa relação como aplicada ao tempo de residência total do conjunto (explico nos próximos passos como uso isso).
  • Objetivo final: calcular X_{\text{PFR}}, X_{\text{CSTR}} e X_{\text{global}}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando passo a passo e por que elas valem):
Definição de conversão: a conversão X é a fração de A consumida, isto é
X=\frac{F_{A0}-F_{A}}{F_{A0}}
onde F_{A0} é o fluxo molar de A na alimentação do sistema considerado e F_A é o fluxo molar de A na saída.
Tempo de residência (space time) para um reator que recebe uma vazão volumétrica Q e tem volume V é
\tau=\frac{V}{Q}.
No nosso problema cada reator tem sua vazão de alimentação (parte da alimentação total), então cada reator terá seu próprio \tau.
Reação de primeira ordem: a taxa por volume é r_A=-kC_A. Isso gera relações simples para PFR e CSTR:
  • PFR (modelo de fluxo plug-flow): ao escrever o balanço diferencial por um pedaço do reator e usar C_A=C_{A0}(1-X) e d\tau=dV/Q, chega-se a
\frac{dX}{d\tau}=k(1-X).
Integrando de 0 a \tau e de 0 a X obtemos a fórmula clássica
X_{\text{PFR}}=1-e^{-k\tau}.
Explicação curta: para PFR a conversão muda ao longo do volume; para cinética de primeira ordem a equação integra para esta exponencial.
  • CSTR (tanque perfeitamente agitado, estado estacionário): balanço molar em regime estacionário dá
F_{A0}C_{A0}-F_{A}C_{A}+Vr_A=0,
e com manipulações (assumindo vazão de saída igual à de entrada e usando r_A=-kC_A) encontra-se
X_{\text{CSTR}}=\frac{k\tau}{1+k\tau},
onde aqui \tau=V/Q do próprio CSTR. Explicação curta: no CSTR a concentração dentro do reator é uniforme e é tal que a reação e a saída se equilibram; para primeira ordem isso leva à fração mostrada.
Observação sobre o sistema paralelo: cada reator vê apenas a sua fração de vazão. A conversão global do sistema paralelo (alimentações independentes que depois se misturam) é a média ponderada pelas frações de vazão:
X_{\text{global}}=f_{1}X_{\text{PFR}}+f_{2}X_{\text{CSTR}},
onde f_{1} e f_{2} são as frações ( f_{1}=0{,}3,\; f_{2}=0{,}7 ).

Passo 3

Calcular os tempos de residência adimensionados k\tau para cada reator usando a informação \tau k=1.
Interpretação adotada: tomo \tau_{\text{total}}=\dfrac{V_{\text{total}}}{Q_{0}}=\dfrac{V_{1}+V_{2}}{Q_{0}} e a condição dada é
k\tau_{\text{total}}=1.
Isto é uma forma comum de fixar uma escala de tempo; com isso consigo relacionar kV_{1}/Q_{0} e então obter k\tau para cada reator.
Cálculos:
V_{\text{total}}=V_{1}+V_{2}=V_{1}+2V_{1}=3V_{1},
então
\tau_{\text{total}}=\frac{3V_{1}}{Q_{0}}\quad\Rightarrow\quad k\frac{3V_{1}}{Q_{0}}=1.
Dessa equação isolamos
\frac{kV_{1}}{Q_{0}}=\frac{1}{3}.
Agora k\tau no PFR (reactor 1): a vazão que entra no PFR é Q_{1}=f_{1}Q_{0}=0{,}3Q_{0}. Assim
k\tau_{1}=k\frac{V_{1}}{Q_{1}}=k\frac{V_{1}}{0{,}3Q_{0}}=\frac{kV_{1}}{Q_{0}}\cdot\frac{1}{0{,}3}=\frac{1/3}{0{,}3}=\frac{10}{9}\approx 1{,}111111.
No CSTR (reactor 2): Q_{2}=f_{2}Q_{0}=0{,}7Q_{0} e V_{2}=2V_{1}, então
k\tau_{2}=k\frac{V_{2}}{Q_{2}}=k\frac{2V_{1}}{0{,}7Q_{0}}=2\cdot\frac{kV_{1}}{Q_{0}}\cdot\frac{1}{0{,}7}=2\cdot\frac{1/3}{0{,}7}=\frac{20}{21}\approx 0{,}952381.
Resumo dos valores adimensionais que vamos usar:
k\tau_{1}=\frac{10}{9}\qquad\text{e}\qquad k\tau_{2}=\frac{20}{21}.

Passo 4

Calcular X_{\text{PFR}} usando a fórmula do PFR:
X_{\text{PFR}}=1-e^{-k\tau_{1}}=1-e^{-10/9}.
Avaliação numérica:
e^{-10/9}\approx 0{,}329286\quad\Rightarrow\quad X_{\text{PFR}}\approx 1-0{,}329286=0{,}670714.
Explicação curta: a expressão vem direto da integração da equação diferencial do PFR para primeira ordem. O valor numérico é a conversão naquele reator dado o seu k\tau.

Passo 5

Calcular X_{\text{CSTR}} usando a fórmula do CSTR:
X_{\text{CSTR}}=\frac{k\tau_{2}}{1+k\tau_{2}}=\frac{\tfrac{20}{21}}{1+\tfrac{20}{21}}=\frac{20}{41}\approx 0{,}487805.
Explicação curta: para o CSTR a conversão tem a forma racional acima; substituímos o k\tau_{2} que achamos e simplificamos.

Passo 6

Calcular a conversão global do sistema paralelo como média ponderada pelas frações de vazão:
X_{\text{global}}=f_{1}X_{\text{PFR}}+f_{2}X_{\text{CSTR}}.
Substituindo f_{1}=0{,}3, f_{2}=0{,}7, X_{\text{PFR}}\approx 0{,}670714 e X_{\text{CSTR}}=\dfrac{20}{41}\approx 0{,}487805,
X_{\text{global}}=0{,}3\cdot 0{,}670714 + 0{,}7\cdot 0{,}487805 \approx 0{,}542678.
Também podemos escrever exatamente (em forma mista):
X_{\text{global}}=0{,}3\bigl(1-e^{-10/9}\bigr)+0{,}7\cdot\frac{20}{41}.

Resposta

X_{\text{PFR}}=1-e^{-10/9}\approx 0{,}670714
X_{\text{CSTR}}=\dfrac{20}{41}\approx 0{,}487805
X_{\text{global}}=0{,}3\bigl(1-e^{-10/9}\bigr)+0{,}7\cdot\dfrac{20}{41}\approx 0{,}542678

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