Deseja-se resfriar 2000 \mathrm{Kg} / \mathrm{h} de anilina de 95^{\circ} \mathrm{C} a 60^{\circ} \mathrm{C} num trocador duplo tubo que possui 3,0 \mathrm{~m}^{2} de área na superfície externa do tubo interno, utilizando-se tolueno a 30^{\circ} \mathrm{C}. Qual a vazão mássica de tolueno que deve ser usada se o trocador for operado em contracorrente? Dados \mathrm{U}=350 \mathrm{Kcal} /(\mathrm{h} \mathrm{m} 2 \circ \mathrm{C}) ; \mathrm{C} \mathrm{p}, anilina =0,54 \mathrm{Kcal} /(\mathrm{Kg} \circ \mathrm{C}) ; \mathrm{C} \mathrm{p}, tolueno =0,42 \mathrm{Kcal} /(\mathrm{Kg} o C).
Calcular a temperatura de saída do tolueno em { }^{\circ} \mathrm{C} e sua vazão em ton. / \mathrm{h}.
  • Temperatura de saída do tolueno: \square { }^{\circ} \mathrm{C} (arredonde para uma casa após a vírgula busque precisão de 0,1 ).
  • Vazão do tolueno: \square ton/ h (arredonde para o inteiro mais próximo, busque precisão 0,2).
OBS: Veja que você pode também descobrir o calor trocado pelos fluídos.

Passo 1

Aqui está o que o enunciado pede e os dados fornecidos (resumidos e claros para não nos perdermos):
  • Objetivo: resfriar anilina e determinar a temperatura de saída do tolueno e a vazão mássica do tolueno (em ton/h) quando o trocador opera em contracorrente.
  • Dados:
    • Vazão mássica da anilina: \dot{m}_a = 2000\\ \mathrm{kg/h}
    • Temperatura de entrada da anilina: T_{a,in} = 95^\circ\mathrm{C}
    • Temperatura de saída da anilina: T_{a,out} = 60^\circ\mathrm{C}
    • Temperatura de entrada do tolueno: T_{t,in} = 30^\circ\mathrm{C}
    • Área de troca térmica (superfície externa do tubo interno): A = 3{,}0\\ \mathrm{m}^2 (peguei esse valor do enunciado)
    • Coeficiente global de transferência de calor: U = 350\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h\\ m}^2\\ ^\circ\mathrm{C})
    • Calor específico da anilina: C_{p,a} = 0{,}54\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C})
    • Calor específico do tolueno: C_{p,t} = 0{,}42\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{kg}^\circ\mathrm{C})
O que precisa ser entregue:
  • Temperatura de saída do tolueno T_{t,out} (em ^{\circ}\mathrm{C}, arredondada para 0{,}1^\circ\mathrm{C}).
  • Vazão do tolueno (em \mathrm{ton/h}, arredondada para o inteiro mais próximo).

Passo 2

Conceitos físicos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, sem pressa):
  1. Conservação de energia (primeiro balanço): o calor perdido pela anilina é igual ao calor ganho pelo tolueno (assumindo sem perdas para o ambiente). A expressão básica é:
Q = \dot{m}_a\,C_{p,a}\,(T_{a,in}-T_{a,out}) = \dot{m}_t\,C_{p,t}\,(T_{t,out}-T_{t,in}).
Explicação das variáveis:
  • Q é a taxa de calor trocada (kcal/h).
  • \dot{m}_a e \dot{m}_t são as vazões mássicas (kg/h) da anilina e do tolueno.
  • C_{p,a} e C_{p,t} são calores específicos (kcal/kg°C).
  • T_{a,in},T_{a,out},T_{t,in},T_{t,out} são temperaturas (°C).
  1. Relação trocador com área e coeficiente global (método LMTD para contracorrente):
Q = U\,A\,\Delta T_{lm},
onde \Delta T_{lm} é a diferença de temperatura logarítmica média para contracorrente. Para contracorrente:
\Delta T_1 = T_{a,in} - T_{t,out},\qquad \Delta T_2 = T_{a,out} - T_{t,in},
e
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Intuição: \Delta T_1 é a diferença no lado “início” do trocador e \Delta T_2 do lado “fim”; \Delta T_{lm} dá uma diferença de temperatura média ponderada que é usada para calcular o calor trocado com UA.
Vamos usar essas duas expressões (balanço de energia e LMTD) simultaneamente para encontrar \dot{m}_t e T_{t,out}.

Passo 3

Calcular primeiro Q a partir da anilina (fórmula direta, sem mistério):
Q = \dot{m}_a\,C_{p,a}\,(T_{a,in}-T_{a,out}).
Substituindo os valores (tudo em TeX):
Q = 2000\cdot 0{,}54\cdot(95-60).
Calcule passo a passo:
95-60 = 35,
0{,}54\cdot 35 = 18{,}9\quad (\mathrm{kcal/(kg\\ ^\circ C)}\times {^\circ C} = \mathrm{kcal/kg}),
Q = 2000\cdot 18{,}9 = 37800\\ \mathrm{kcal/h}.
Então a taxa de calor trocada é \;Q = 37800\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 4

Relacionar Q também com o tolueno:
Q = \dot{m}_t\,C_{p,t}\,(T_{t,out}-T_{t,in}).
Reescrevendo para T_{t,out}:
T_{t,out} = T_{t,in} + \frac{Q}{\dot{m}_t\,C_{p,t}}.
Substituindo T_{t,in}=30^\circ\mathrm{C} e C_{p,t}=0{,}42:
T_{t,out} = 30 + \frac{37800}{\dot{m}_t\cdot 0{,}42}.
Faça uma simplificação numérica útil:
\frac{37800}{0{,}42} = 90000,
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T_{t,out} = 30 + \frac{90000}{\dot{m}_t}.

Passo 5

Agora a equação LMTD usando os dados e a relação encontrada. Primeiro calcule \Delta T_2 (é conhecido):
\Delta T_2 = T_{a,out} - T_{t,in} = 60 - 30 = 30^\circ\mathrm{C}.
E \Delta T_1 em função de \dot{m}_t (usando a expressão para T_{t,out}):
\Delta T_1 = T_{a,in} - T_{t,out} = 95 - \left(30+\frac{90000}{\dot{m}_t}\right) = 65 - \frac{90000}{\dot{m}_t}.
A fórmula do LMTD é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
E a ligação com Q é
Q = U A \Delta T_{lm}.
Como Q, U e A são conhecidos, podemos calcular numericamente \Delta T_{lm}:
\Delta T_{lm} = \frac{Q}{U A} = \frac{37800}{350\cdot 3{,}0} = \frac{37800}{1050} = 36{,}0^\circ\mathrm{C}.
Portanto precisamos que a expressão LMTD (em função de \dot{m}_t) valha 36{,}0^\circ\mathrm{C}:
\frac{65 - \dfrac{90000}{\dot{m}_t} - 30}{\ln\!\left(\dfrac{65 - \dfrac{90000}{\dot{m}_t}}{30}\right)} = 36.
Simplificando numerador:
\frac{35 - \dfrac{90000}{\dot{m}_t}}{\ln\!\left(\dfrac{65 - \dfrac{90000}{\dot{m}_t}}{30}\right)} = 36.

Passo 6

Resolver numericamente a equação transcendental. Para deixar mais claro, fazemos substituições:
defina x = \dfrac{90000}{\dot{m}_t}. Então
\Delta T_1 = 65 - x,\qquad \Delta T_2 = 30,
e a equação vira
\frac{35 - x}{\ln\!\left(\dfrac{65 - x}{30}\right)} = 36.
Rearranjando para facilitar o cálculo:
\ln\!\left(\frac{65-x}{30}\right) = \frac{35-x}{36},
e exponenciando:
\frac{65-x}{30} = \exp\!\left(\frac{35-x}{36}\right).
Multiplicando:
65-x = 30\exp\!\left(\frac{35-x}{36}\right).
Agora faremos tentativa/iteração (método simples de tentativa) para encontrar x. Vou mostrar algumas tentativas com cálculos aproximados (só aritmética, nada de software pesado):
  • Tentar y=65-x para simplificar: então a equação é y = 30\exp\!\left(\dfrac{y-30}{36}\right). Procuramos y (que é \Delta T_1).
    Testes (mostrando passos):
    • y=60: RHS =30e^{(60-30)/36}=30e^{0{,}83333}\approx30\cdot2{,}301=69{,}03\Rightarrow y-RHS\approx-9{,}03 (RHS maior que y).
    • y=50: RHS =30e^{20/36}\approx30\cdot1{,}743=52{,}29\Rightarrow y-RHS\approx-2{,}29.
    • y=45: RHS =30e^{15/36}\approx30\cdot1{,}557=46{,}71\Rightarrow y-RHS\approx-1{,}71.
    • y=44: RHS =30e^{14/36}\approx30\cdot1{,}475=44{,}25\Rightarrow y-RHS\approx-0{,}25.
    • y=42{,}7: RHS =30e^{12{,}7/36}\approx30\cdot1{,}4234=42{,}701\Rightarrow y-RHS\approx -0{,}001.
    • Resultado: raiz próxima de y\approx 42{,}699.
Esse valor de y significa \Delta T_1 = 65 - x = y \approx 42{,}699. Então
x = 65 - y \approx 65 - 42{,}699 = 22{,}301.

Passo 7

Agora recuperamos a vazão \dot{m}_t a partir de x:
x = \frac{90000}{\dot{m}_t} \quad\Rightarrow\quad \dot{m}_t = \frac{90000}{x}.
Substituindo x\approx 22{,}301:
\dot{m}_t \approx \frac{90000}{22{,}301} \approx 4036{,}5\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 8

Calcular a temperatura de saída do tolueno T_{t,out} usando a fórmula já obtida:
T_{t,out} = 30 + \frac{90000}{\dot{m}_t} = 30 + x \approx 30 + 22{,}301 = 52{,}301^\circ\mathrm{C}.
Arredondando conforme pedido para uma casa decimal:
T_{t,out} \approx 52{,}3^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Converter a vazão para \mathrm{ton/h} (1 tonelada = 1000\\ \mathrm{kg}):
\dot{m}_t = 4036{,}5\\ \mathrm{kg/h} = 4{,}0365\\ \mathrm{ton/h}.
Arredondando para o inteiro mais próximo (conforme pedido): \;4\\ \mathrm{ton/h}.

Resposta

Temperatura de saída do tolueno: 52{,}3^\circ\mathrm{C}
Vazão do tolueno: 4\\ \mathrm{ton/h}

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