(Nilo, p. 196, q. 72) Benzeno (B) pode ser produzido pela hidrogenação catalítica do tolueno (T) de acordo com a reação e o esquema abaixo:
\mathrm{C}_{7} \mathrm{H}_{8}+\mathrm{H}_{2} \rightarrow \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}+\mathrm{CH}_{4}
O hidrogênio é adicionado à corrente de gás de reciclo R_{G} com o objetivo de manter no gás G a razão molar \mathrm{H}_{2} / \mathrm{CH}_{4}=1. Na entrada do reator, a razão molar \mathrm{H}_{2} / \mathrm{T}=4 deve ser mantida na carga
combinada \mathrm{F}_{\mathrm{c}}. A conversão de tolueno (T) por passe no reator é 80,0 \%. A corrente gasosa efluente do separador é composta apenas de \mathrm{CH}_{4} e \mathrm{H}_{2} e é dividida em duas correntes: uma é a purga § e a outra é o reciclo de gás \mathrm{R}_{\mathrm{G}}. A corrente líquida efluente do separador é tolueno puro e é totalmente reciclada. Calcule:

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as vazões das correntes no circuito com reciclo, dadas as condições abaixo (vou listar tudo que o enunciado fornece, para a gente ficar claro):
  • Reação: \mathrm{C}_{7}\mathrm{H}_{8}+\mathrm{H}_2\rightarrow\mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{6}+\mathrm{CH}_4. (Para cada mol de tolueno consumido: 1 mol de \mathrm{H}_2 é consumido e 1 mol de \mathrm{CH}_4 é formado.)
  • A razão molar na corrente de gás G deve ser \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4 = 1 (isso é imposto pela adição de \mathrm{H}_2 sobre o gás de reciclo R_G, segundo o enunciado).
  • Na entrada do reator, na carga combinada \mathrm{F}_c, deve-se manter \mathrm{H}_2/\mathrm{T} = 4.
  • Conversão de tolueno por passe no reator: 80{,}0\% (isto é, 80\% do tolueno que entra no reator reage).
  • A corrente gasosa efluente do separador é composta somente de \mathrm{CH}_4 e \mathrm{H}_2 e é dividida em purga P e reciclo de gás R_G.
  • A corrente líquida efluente do separador é tolueno puro e é totalmente reciclada (reciclo líquido R_L retorna tudo ao misturador).
  • Há uma alimentação fresca de tolueno, que vou chamar de F (mol/s ou qualquer unidade molar por tempo); o exercício pede calcular as vazões relativas das correntes do sistema. Vou usar F como base (1 unidade de F se você quiser um número absoluto, mas vou manter em função de F).
Esses são os dados relevantes. No Passo 2 começo a resolver as contas.

Passo 2

Primeiro fazemos o balanço de matéria do tolueno (T), usando o fato de que o separador devolve todo o tolueno não reagido como reciclo líquido.
Defino:
  • F = vazão de tolueno fresco (base).
  • R_L = vazão do recirculo líquido (to lueno não reagido que volta).
  • F_c = tolueno total que entra no reator (carga combinada) = F + R_L.
  • Conversão por passe = 0{,}80, então fração não reagida por passe = 0{,}20.
Balanço no estado estacionário (o que entra como tolueno no reator menos o que reage = o que sai e é reciclado):
R_L = 0{,}20\,F_c.
Mas F_c = F + R_L. Substituindo:
R_L = 0{,}20\,(F + R_L).
Agora resolvemos para R_L:
R_L = 0{,}20F + 0{,}20R_L \quad\Rightarrow\quad R_L - 0{,}20R_L = 0{,}20F,
0{,}80R_L = 0{,}20F \quad\Rightarrow\quad R_L = \frac{0{,}20}{0{,}80}F = 0{,}25F.

Passo 3

Com R_L achado, obtemos a carga combinada ao reator F_c:
F_c = F + R_L = F + 0{,}25F = 1{,}25F.
A quantidade de tolueno que reage por passe é
\text{T reagida} = 0{,}80\,F_c = 0{,}80\cdot 1{,}25F = 1{,}00F.
Como a estequiometria converte 1 mol de tolueno consumido em 1 mol de benzeno, a produção de benzeno por passe é
B = 1{,}00F.
Comentário didático: isso é um resultado interessante e útil — com reciclo líquido total e conversão por passe 80\%, a produção de benzeno termina igual à alimentação fresca de tolueno F. Isso acontece porque o tolueno fresco é, no balanço global, totalmente consumido ao longo das recirculações (a volumetria de recirculo ajusta-se para que a fração não reagida por passe se recicla).

Passo 4

Agora fazemos o balanço de gás usando a estequiometria da reação.
  • Para cada mol de tolueno reagido consome-se 1 mol de \mathrm{H}_2 e forma-se 1 mol de \mathrm{CH}_4.
  • Já vimos que a taxa de tolueno reagido é 1{,}00F (mol/s relativo a F). Então:
    • \mathrm{H}_2 consumido por passe = 1{,}00F.
    • \mathrm{CH}_4 produzido por passe = 1{,}00F.
A razão imposta na entrada do reator é \mathrm{H}_2/\mathrm{T}=4 na carga combinada F_c. Assim a quantidade de \mathrm{H}_2 que entra no reator (vou chamar H_{in}) deve ser
H_{in} = 4\,F_c = 4\cdot 1{,}25F = 5{,}00F.
Portanto a vazão de \mathrm{H}_2 que sai (não reagida) do reator é
H_{\text{efl}} = H_{in} - H_{\text{consumido}} = 5{,}00F - 1{,}00F = 4{,}00F.
A vazão de \mathrm{CH}_4 formada é 1{,}00F. Logo a corrente gasosa total efluente do separador é
\text{Gas efluente total} = H_{\text{efl}} + CH_4 = 4{,}00F + 1{,}00F = 5{,}00F.
Observação didática: note como os números ficaram muito simples; isso facilita os balanços. A composição molar do gás efluente é H_2:CH_4 = 4{,}00F:1{,}00F = 4:1.

Passo 5

Agora analisamos a reciclagem/purga do gás. Seja
  • R_G = vazão de gás reciclado (molar total),
  • P = vazão de purga,
    com R_G + P = 5{,}00F. A composição do gás efluente é homogênea, então o gás reciclado R_G tem as mesmas frações molares: fração molar de \mathrm{H}_2 é 4/5 e de \mathrm{CH}_4 é 1/5. Assim no reciclo R_G temos:
H_2\\ \text{em}\\ R_G = \frac{4}{5}R_G,\qquad CH_4\\ \text{em}\\ R_G = \frac{1}{5}R_G.
O enunciado diz que o hidrogênio é adicionado à corrente de gás de reciclo R_G (essa adição é o abastecimento de reposição M) com o objetivo de manter no gás G a razão molar \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4 = 1. O gás G é, portanto, a mistura do reciclo R_G com a reposição M de \mathrm{H}_2. Assim:
\text{no gás }G:\quad H_2 = \frac{4}{5}R_G + M,\qquad CH_4 = \frac{1}{5}R_G.á
A exigência do enunciado é
\frac{\frac{4}{5}R_G + M}{\frac{1}{5}R_G} = 1.
Resolvendo essa equação para M:
\frac{4}{5}R_G + M = \frac{1}{5}R_G \quad\Rightarrow\quad M = \frac{1}{5}R_G - \frac{4}{5}R_G = -\frac{3}{5}R_G.

Passo 6

Interpretação física do resultado do Passo 5: a expressão dá M = -\dfrac{3}{5}R_G, ou seja, para atender simultaneamente as condições dadas (composição do gás efluente calculada no Passo 4 e a exigência \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4 = 1 no gás G) seria necessário retirar 3/5 do gás reciclado em forma de hidrogênio — isto é, M sairia negativo. Mas na prática M é uma reposição de \mathrm{H}_2 (fluxo não-negativo). Portanto temos uma contradição: as condições impostas são incompatíveis com as estequiometrias e com a reciclagem total do líquido.
Explicando com linguagem simples: depois do reator e separador o gás tem muito mais \mathrm{H}_2 do que \mathrm{CH}_4 (razão 4:1). Se você recicla parte desse gás, o próprio reciclo já tem \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4=4. Adicionar \mathrm{H}_2 ao reciclo só aumenta essa razão, nunca a reduz para 1. Logo não é possível obter \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4=1 no gás G através da adição de \mathrm{H}_2 (apenas por adição de \mathrm{H}_2), dado que a fonte R_G já tem razão 4. O balanço matemático mostra isso (necessidade de M<0).

Passo 7

Consequência prática e alternativas:
  • Conclusão direta: com os dados fornecidos (conversão 80\% por passe, reciclo líquido total, exigência \mathrm{H}_2/\mathrm{T}=4 na carga do reator), a composição do gás efluente resulta necessariamente em \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4=4. Assim NÃO HÁ POSSIBILIDADE de, apenas adicionando \mathrm{H}_2 ao reciclo, obter no gás G a razão \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4=1 com M\ge 0. Isso significa que o requisito \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4=1 é incompatível com os demais dados — provavelmente há um erro de texto no enunciado (por exemplo, o valor correto possa ser \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4=4 ou outra condição).
  • Se a razão desejada no gás G fosse \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4=4 (o mesmo valor do efluente), então não seria necessária reposição ( M=0 por causa da consistência), e qualquer escolha de R_G (com P=5{,}00F-R_G) manteria a composição; já as vazões numéricas que calculámos permanecem corretas para R_L, F_c, produção B e composições do efluente.

Resposta

R_L = 0{,}25\,F
F_c = 1{,}25\,F
B = 1{,}00\,F
\mathrm{H}_2\\ \text{entrando no reator} = 5{,}00\,F
\mathrm{H}_2\\ \text{efluente} = 4{,}00\,F,\quad CH_4\\ \text{efluente} = 1{,}00\,F,\quad\text{total gás efluente} = 5{,}00\,Fá
Conclusão: as condições são inconsistentes — a exigência \mathrm{H}_2/\mathrm{CH}_4=1 no gás G não é compatível com os demais dados (gera M<0); não existe solução com reposição M\ge 0.

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