Deseja-se testar se a idade média de homens e mulheres consumidores de certo produto para idosos é significativamente diferente. Para isso, foram coletadas amostras aleatórias e provenientes de populações normais, conforme apresentado a seguir.
Homens Mulheres
81 80
68 69
70 70
67 69
76 77
68 69
67 66
Considere variâncias populacionais iguais. Efetue um teste de hipóteses para verificar se há diferença entre as médias, considerando um nível de significância de 1%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir se a idade média dos homens e das mulheres que consomem esse produto para idosos é diferente de verdade. Para isso, a gente vai usar teste de hipóteses. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente testes de média para duas amostras assumindo variâncias iguais. Precisamos calcular as médias das duas amostras, a variância comum e usar a distribuição t para ver se a diferença observada é significativa com um nível de confiança de 99%.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das idades dos homens e das mulheres.
Para os Homens:
MédiaH = 81 + 68 + 70 + 67 + 76 + 68 + 677 é
MédiaH = 4977 approx 71 é
Para as Mulheres:
MédiaM = 80 + 69 + 70 + 69 + 77 + 69 + 667 é
MédiaM = 5007 approx 71,43 é

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de cada grupo.
Para os Homens:
SH^2 = sum (xi - MédiaH)^2nH - 1 é
Calculando cada diferença ao quadrado:
$$
(81-71)^2 = 100,\ (68-71)^2 = 9,\ (70-71)^2 = 1,\ (67-71)^2 = 16,\ (76-71)^2 = 25,\ (68-71)^2 = 9,\ (67-71)^2 = 16
$$
(81-71)^2 = 100, (68-71)^2 = 9, (70-71)^2 = 1, (67-71)^2 = 16, (76-71)^2 = 25, (68-71)^2 = 9, (67-71)^2 = 16
Para as Mulheres:
SH^2 = 100 + 9 + 1 + 16 + 25 + 9 + 166 = 1766 approx 29,33 é
Calculando cada diferença ao quadrado:
$$
(80-71,43)^2 \approx 73,45,\ (69-71,43)^2 \approx 5,90,\ (70-71,43)^2 \approx 2,04,\ (69-71,43)^2 \approx 5,90,\ (77-71,43)^2 \approx 31,04,\ (69-71,43)^2 \approx 5,90,\ (66-71,43)^2 \approx 29,60
$$
SM^2 = sum (xi - MédiaM)^2nM - 1

Passo 4

Como as variâncias populacionais são iguais, a gente calcula a variância combinada (pooled variance):
Sp^2 = (nH - 1)SH^2 + (nM - 1)SM^2nH + nM - 2
Sp^2 = 6 times 29,33 + 6 times 25,6412
Sp^2 = 175,98 + 153,8412 = 329,8212 approx 27,49

Passo 5

Agora, calculamos o estatístico t:
t = MédiaH - MédiaMraizSp^2 ( 1nH + 1nM ) éé
t = 71 - 71,43raiz27,49 ( 17 + 17 )
t = -0,43raiz27,49 times 0,2857
t = -0,43raiz7,857
t = -0,432,80 approx -0,153

Passo 6

Vamos comparar o valor de t calculado com o valor crítico da distribuição t para um nível de significância de 1% e graus de liberdade $ df = n_H + n_M - 2 = 12 $.
O valor crítico para teste bicaudal com df = nH + nM - 2 = 12 e alpha = 0,01 é aproximadamente $ \pm 3,055 $.

Passo 7

Como o valor absoluto de t calculado ( 0,153) é menor que o valor crítico ( 3,055), não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para afirmar que a idade média de homens e mulheres consumidores do produto para idosos é significativamente diferente ao nível de 1% de significância.

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