Deseja-se testar se a idade média de homens e mulheres consumidores de certo produto para idosos é significativamente diferente. Para isso, foram coletadas amostras aleatórias e provenientes de populações normais, conforme apresentado a seguir.
Homens | Mulheres |
---|---|
81 | 80 |
68 | 69 |
70 | 70 |
67 | 69 |
76 | 77 |
68 | 69 |
67 | 66 |
Considere variâncias populacionais iguais. Efetue um teste de hipóteses para verificar se há diferença entre as médias, considerando um nível de significância de 1%.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir se a idade média dos homens e das mulheres que consomem esse produto para idosos é diferente de verdade. Para isso, a gente vai usar teste de hipóteses. A matéria envolvida aqui é Estatística, especificamente testes de média para duas amostras assumindo variâncias iguais. Precisamos calcular as médias das duas amostras, a variância comum e usar a distribuição t para ver se a diferença observada é significativa com um nível de confiança de 99%.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média das idades dos homens e das mulheres.
Para os Homens:
Para as Mulheres:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância de cada grupo.
Para os Homens:
Calculando cada diferença ao quadrado:
$$
(81-71)^2 = 100,\ (68-71)^2 = 9,\ (70-71)^2 = 1,\ (67-71)^2 = 16,\ (76-71)^2 = 25,\ (68-71)^2 = 9,\ (67-71)^2 = 16
$$
Para as Mulheres:
Calculando cada diferença ao quadrado:
$$
(80-71,43)^2 \approx 73,45,\ (69-71,43)^2 \approx 5,90,\ (70-71,43)^2 \approx 2,04,\ (69-71,43)^2 \approx 5,90,\ (77-71,43)^2 \approx 31,04,\ (69-71,43)^2 \approx 5,90,\ (66-71,43)^2 \approx 29,60
$$
Passo 4
Como as variâncias populacionais são iguais, a gente calcula a variância combinada (pooled variance):
Passo 5
Agora, calculamos o estatístico t:
Passo 6
Vamos comparar o valor de t calculado com o valor crítico da distribuição t para um nível de significância de 1% e graus de liberdade $ df = n_H + n_M - 2 = 12 $.
O valor crítico para teste bicaudal com
e
é aproximadamente $ \pm 3,055 $.
Passo 7
Como o valor absoluto de t calculado (
) é menor que o valor crítico (
), não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidências suficientes para afirmar que a idade média de homens e mulheres consumidores do produto para idosos é significativamente diferente ao nível de 1% de significância.