Um grupo de 10 pessoas é submetido a um tipo de dieta por 10 dias, estando os pesos antes do início e no final da dieta apresentados na tabela. Ao nível de 5%, podemos concluir que houve diminuição do peso médio pela aplicação da dieta?
Pessoa | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Antes <br> da dieta | 120 | 104 | 93 | 87 | 85 | 98 | 102 | 106 | 88 | 90 |
Após a <br> dieta | 116 | 102 | 90 | 83 | 86 | 97 | 98 | 108 | 82 | 85 |
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma tabela com o peso de 10 pessoas antes e depois de 10 dias de dieta. Queremos saber se, com um nível de confiança de 5%, dá pra concluir que o peso médio realmente diminuiu por causa da dieta. Para isso, vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o teste t pareado. Esse teste vai nos ajudar a comparar as médias dos dois grupos (antes e depois) e ver se a diferença é significativa.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Temos os pesos antes e após a dieta para cada pessoa:
Pessoa | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Antes | 120 | 104 | 93 | 87 | 85 | 98 | 102 | 106 | 88 | 90 |
Após | 116 | 102 | 90 | 83 | 86 | 97 | 98 | 108 | 82 | 85 |
Vamos calcular a diferença de peso para cada pessoa (Antes - Após):
Pessoa | Diferença (d) |
---|---|
1 | 4 |
2 | 2 |
3 | 3 |
4 | 4 |
5 | 1 |
6 | 1 |
7 | 4 |
8 | -2 |
9 | 6 |
10 | 5 |
Passo 3
Agora, vamos calcular a média das diferenças (
):
Isso significa que, em média, as pessoas perderam 2,8 kg durante a dieta.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão das diferenças (s_d). Primeiro, vamos encontrar a soma dos quadrados das diferenças em relação à média:
Vamos calcular cada termo:
Somando esses valores:
Agora, calculamos o desvio padrão:
Passo 5
Vamos então calcular o erro padrão da média das diferenças (SE):
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor do teste t:
Passo 7
Precisamos agora comparar esse valor de t com o valor crítico da distribuição t para $ n - 1 = 9 $ graus de liberdade e nível de significância de 5% (como estamos verificando apenas se houve diminuição, é um teste unilateral). Consultando a tabela t, o valor crítico para $ t_{0,05,9} $ é aproximadamente 1,833.
Passo 8
Como nosso valor calculado de t (3,78) é maior que o valor crítico (1,833), podemos rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Sim, com nível de confiança de 5%, podemos concluir que houve uma diminuição significativa do peso médio após a aplicação da dieta.