Um grupo de 10 pessoas é submetido a um tipo de dieta por 10 dias, estando os pesos antes do início e no final da dieta apresentados na tabela. Ao nível de 5%, podemos concluir que houve diminuição do peso médio pela aplicação da dieta?
Pessoa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes <br> da dieta 120 104 93 87 85 98 102 106 88 90
Após a <br> dieta 116 102 90 83 86 97 98 108 82 85

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma tabela com o peso de 10 pessoas antes e depois de 10 dias de dieta. Queremos saber se, com um nível de confiança de 5%, dá pra concluir que o peso médio realmente diminuiu por causa da dieta. Para isso, vamos usar estatística inferencial, mais especificamente o teste t pareado. Esse teste vai nos ajudar a comparar as médias dos dois grupos (antes e depois) e ver se a diferença é significativa.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos os pesos antes e após a dieta para cada pessoa:
Pessoa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 120 104 93 87 85 98 102 106 88 90
Após 116 102 90 83 86 97 98 108 82 85
Vamos calcular a diferença de peso para cada pessoa (Antes - Após):
Pessoa Diferença (d)
1 4
2 2
3 3
4 4
5 1
6 1
7 4
8 -2
9 6
10 5

Passo 3

Agora, vamos calcular a média das diferenças ( bard):
bard = 4 + 2 + 3 + 4 + 1 + 1 + 4 - 2 + 6 + 510 = 2810 = 2,8 kg
Isso significa que, em média, as pessoas perderam 2,8 kg durante a dieta.

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão das diferenças (s_d). Primeiro, vamos encontrar a soma dos quadrados das diferenças em relação à média:
sd = raizsum (di - bard)^2n - 1
Vamos calcular cada termo:
(4 - 2,8)^2 &= 1,44 (2 - 2,8)^2 &= 0,64 (3 - 2,8)^2 &= 0,04 (4 - 2,8)^2 &= 1,44 (1 - 2,8)^2 &= 3,24 (1 - 2,8)^2 &= 3,24 (4 - 2,8)^2 &= 1,44 (-2 - 2,8)^2 &= 23,04 (6 - 2,8)^2 &= 10,24 (5 - 2,8)^2 &= 4,84
Somando esses valores:
1,44 + 0,64 + 0,04 + 1,44 + 3,24 + 3,24 + 1,44 + 23,04 + 10,24 + 4,84 = 49,6
Agora, calculamos o desvio padrão:
sd = raiz49,610 - 1 = raiz49,69 approx raiz5,51 approx 2,35 kg

Passo 5

Vamos então calcular o erro padrão da média das diferenças (SE):
SE = sdraizn = 2,35raiz10 approx 2,353,16 approx 0,74 kg

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor do teste t:
t = bardSE = 2,80,74 approx 3,78

Passo 7

Precisamos agora comparar esse valor de t com o valor crítico da distribuição t para $ n - 1 = 9 $ graus de liberdade e nível de significância de 5% (como estamos verificando apenas se houve diminuição, é um teste unilateral). Consultando a tabela t, o valor crítico para $ t_{0,05,9} $ é aproximadamente 1,833.

Passo 8

Como nosso valor calculado de t (3,78) é maior que o valor crítico (1,833), podemos rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Sim, com nível de confiança de 5%, podemos concluir que houve uma diminuição significativa do peso médio após a aplicação da dieta.

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