Suponha que um fabricante de tintas tenha uma produção diária x normalmente distribuída, com média de 100000 galões e desvio-padrão de 10000 galões. A direção quer criar um bônus de incentivo para a mão de obra da produção quando a produção diária exceder 90% da distribuição, na esperança de que os trabalhadores se tornarão, em retorno, mais produtivos. Em que nível de produção a direção deveria pagar o bônus de incentivo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma fábrica de tintas que produz diariamente uma quantidade de tinta
x
que segue uma distribuição normal. A média dessa produção é de 100.000 galões e o desvio-padrão é de 10.000 galões. A direção quer dar um bônus para a galera da produção quando o dia for mais produtivo que 90% dos dias típicos. Nosso objetivo é descobrir qual é o nível de produção diário que a direção deve usar como referência para pagar esse bônus.Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa exceder os 90% da distribuição. Isso quer dizer que queremos encontrar o valor de produção diário
x
tal que 90% das vezes a produção seja menor ou igual a esse valor. Em termos de probabilidade, estamos procurando o percentil de 90% da distribuição normal com média 100.000 e desvio-padrão 10.000.Passo 3
Para encontrar esse valor, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística. A distribuição normal padrão é uma distribuição com média 0 e desvio-padrão 1, e chamamos de
Z
. A relação entre a distribuição normal original X
e a distribuição Z
é dada por:onde:
-
é a média (100.000 galões), -
é o desvio-padrão (10.000 galões).
Passo 4
Queremos encontrar o valor de
Z
que corresponde ao percentil de 90%. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, descobrimos que o valor de Z
para 90% é aproximadamente 1,2816.Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula para converter esse valor de
Z
de volta para a distribuição original X
:Substituindo os valores:
Passo 6
Fazendo a conta:
Resposta
A direção deve pagar o bônus quando a produção diária exceder 112.816 galões.