Suponha que um fabricante de tintas tenha uma produção diária x normalmente distribuída, com média de 100000 galões e desvio-padrão de 10000 galões. A direção quer criar um bônus de incentivo para a mão de obra da produção quando a produção diária exceder 90% da distribuição, na esperança de que os trabalhadores se tornarão, em retorno, mais produtivos. Em que nível de produção a direção deveria pagar o bônus de incentivo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma fábrica de tintas que produz diariamente uma quantidade de tinta x que segue uma distribuição normal. A média dessa produção é de 100.000 galões e o desvio-padrão é de 10.000 galões. A direção quer dar um bônus para a galera da produção quando o dia for mais produtivo que 90% dos dias típicos. Nosso objetivo é descobrir qual é o nível de produção diário que a direção deve usar como referência para pagar esse bônus.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa exceder os 90% da distribuição. Isso quer dizer que queremos encontrar o valor de produção diário x tal que 90% das vezes a produção seja menor ou igual a esse valor. Em termos de probabilidade, estamos procurando o percentil de 90% da distribuição normal com média 100.000 e desvio-padrão 10.000.

Passo 3

Para encontrar esse valor, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística. A distribuição normal padrão é uma distribuição com média 0 e desvio-padrão 1, e chamamos de Z. A relação entre a distribuição normal original X e a distribuição Z é dada por:
Z = X - musigma
onde:
  • mu é a média (100.000 galões),
  • sigma é o desvio-padrão (10.000 galões).

Passo 4

Queremos encontrar o valor de Z que corresponde ao percentil de 90%. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, descobrimos que o valor de Z para 90% é aproximadamente 1,2816.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula para converter esse valor de Z de volta para a distribuição original X:
X = mu + Z times sigma
Substituindo os valores:
X = 100.000 + 1,2816 times 10.000

Passo 6

Fazendo a conta:
X = 100.000 + 12.816
X = 112.816

Resposta

A direção deve pagar o bônus quando a produção diária exceder 112.816 galões.

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