Um fornecedor afirma que o teor médio de impurezas de seu material é de
. Uma empresa suspeita que o valor é maior. Uma amostra de 40 unidades indicou média de
e desvio-padrão amostral de
. Teste a hipótese ao nível de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado do fornecedor: teor médio alegado
. - Suspeita da empresa: o teor é maior (portanto teste unilateral à direita).
- Amostra: tamanho
, média amostral (peguei do enunciado) e desvio-padrão amostral (peguei do enunciado). - Nível de significância:
(1%). - Pergunta: testar a hipótese ao nível de
. Ou seja, decidir se há evidência suficiente, a , para concluir que o teor médio de impurezas é maior que .
Passo 2
Escolha do método (por que usar este teste):
- A média populacional sob hipótese nula é conhecida (
), mas o desvio-padrão populacional não foi informado — temos apenas , o desvio amostral. - Com
desconhecida e amostra relativamente moderada ( ), o procedimento padrão é o teste t de Student para a média. - Como a empresa suspeita que o valor é maior, fazemos um teste unilateral à direita com:
Passo 3
Fórmula da estatística de teste e significado das variáveis:
- A estatística t é
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é a média sob (aqui ); -
é o desvio-padrão amostral (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o erro padrão da média (mostra quanto a média amostral costuma variar). - Os graus de liberdade são
. No teste t usamos a distribuição .
Passo 4
Cálculo do erro padrão
:
- Primeiro calcule
:
- Então
(uma forma prática:
e multiplicando por
dá
.)
Passo 5
Cálculo da estatística t:
- Diferença entre média amostral e hipótese:
- Dividindo pelo erro padrão:
Logo a estatística observada é aproximadamente
.
Passo 6
Regra de decisão usando o valor crítico:
- É um teste unilateral à direita com
e . O valor crítico tabelado é
(Isto quer dizer: rejeitar
se
.)
- Comparação:
Portanto não rejeitamos
ao nível de
.
Passo 7
Cálculo do p‑valor (interpretação alternativa):
- O p‑valor é
para seguindo com 39 g.l. - Aproximação numérica dá
(cerca de ). - Como
, a conclusão é a mesma: falta evidência ao nível de .
Passo 8
Interpretação prática e comentário encorajador:
- Conclusão: com essa amostra e ao nível de significância de
, não há evidência estatística suficiente para afirmar que o teor médio de impurezas é maior que . - Comentário amigo: o resultado está “perto” de ser significativo (p≈0,02), então com uma amostra maior ou menos variabilidade poderíamos ter mais poder para detectar um aumento pequeno. Continua valendo: você fez tudo certo — a conta principal é a estatística t e comparar com o t crítico.
Resposta
Não rejeitamos
; não há evidência, ao nível de
, de que o teor médio de impurezas seja maior que
.