Um fornecedor afirma que o teor médio de impurezas de seu material é de 2 \%. Uma empresa suspeita que o valor é maior. Uma amostra de 40 unidades indicou média de 2,3 \% e desvio-padrão amostral de 0,9 \%. Teste a hipótese ao nível de 1 \%.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado do fornecedor: teor médio alegado \mu_0 = 2\%.
  • Suspeita da empresa: o teor é maior (portanto teste unilateral à direita).
  • Amostra: tamanho n = 40, média amostral \bar{x} = 2,3\% (peguei do enunciado) e desvio-padrão amostral s = 0,9\% (peguei do enunciado).
  • Nível de significância: \alpha = 0,01 (1%).
  • Pergunta: testar a hipótese ao nível de 1\%. Ou seja, decidir se há evidência suficiente, a 1\%, para concluir que o teor médio de impurezas é maior que 2\%.

Passo 2

Escolha do método (por que usar este teste):
  • A média populacional sob hipótese nula é conhecida ( \mu_0), mas o desvio-padrão populacional \sigma não foi informado — temos apenas s, o desvio amostral.
  • Com \sigma desconhecida e amostra relativamente moderada ( n=40), o procedimento padrão é o teste t de Student para a média.
  • Como a empresa suspeita que o valor é maior, fazemos um teste unilateral à direita com:
H_0: \mu = 2\%,\qquad H_a: \mu > 2\%.

Passo 3

Fórmula da estatística de teste e significado das variáveis:
  • A estatística t é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=2,3\%);
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui \mu_0=2\%);
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=0,9\%);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=40);
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (mostra quanto a média amostral costuma variar).
  • Os graus de liberdade são df = n-1 = 39. No teste t usamos a distribuição t_{39}.

Passo 4

Cálculo do erro padrão \displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}:
  • Primeiro calcule \sqrt{n}:
\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,3246.
  • Então
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,9\%}{\sqrt{40}}\approx \frac{0,9\%}{6,3246}\approx 0,14230\%.
(uma forma prática: 1/\sqrt{40}\approx 0,1581139 e multiplicando por 0,9\% 0,1423025\%.)

Passo 5

Cálculo da estatística t:
  • Diferença entre média amostral e hipótese:
\bar{x}-\mu_0 = 2,3\% - 2,0\% = 0,3\%.
  • Dividindo pelo erro padrão:
t=\frac{0,3\%}{0,14230\%}\approx 2,108.
Logo a estatística observada é aproximadamente t_{\text{obs}}\approx 2,108.

Passo 6

Regra de decisão usando o valor crítico:
  • É um teste unilateral à direita com \alpha=0,01 e df=39. O valor crítico tabelado é
t_{0,99;39}\approx 2,426.
(Isto quer dizer: rejeitar H_0 se t_{\text{obs}}>2,426.)
  • Comparação:
t_{\text{obs}}\approx 2,108 < 2,426 = t_{0,99;39}.
Portanto não rejeitamos H_0 ao nível de 1\%.

Passo 7

Cálculo do p‑valor (interpretação alternativa):
  • O p‑valor é P(T_{39} > 2,108) para T_{39} seguindo t com 39 g.l.
  • Aproximação numérica dá \text{p‑valor}\approx 0,02 (cerca de 2\%).
  • Como \text{p‑valor}\approx 0,02 > \alpha=0,01, a conclusão é a mesma: falta evidência ao nível de 1\%.

Passo 8

Interpretação prática e comentário encorajador:
  • Conclusão: com essa amostra e ao nível de significância de 1\%, não há evidência estatística suficiente para afirmar que o teor médio de impurezas é maior que 2\%.
  • Comentário amigo: o resultado está “perto” de ser significativo (p≈0,02), então com uma amostra maior ou menos variabilidade poderíamos ter mais poder para detectar um aumento pequeno. Continua valendo: você fez tudo certo — a conta principal é a estatística t e comparar com o t crítico.

Resposta

Não rejeitamos H_0; não há evidência, ao nível de 1\%, de que o teor médio de impurezas seja maior que 2\%.

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