Uma fábrica opera dois turnos independentes. O número de peças defeituosas por hora foi medido em amostras de 30 horas de cada turno. No turno 1 , observou-se média de 4,2 defeitos/h e desvio 1,1 ; no turno 2 , média 3,7 defeitos/h e desvio 1,3 . Teste, ao nível de 5 \%, se os turnos apresentam médias diferentes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Amostras independentes de tamanho n_1=30 e n_2=30.
  • No turno 1: média amostral \bar{x}_1=4,2 defeitos/h e desvio padrão amostral s_1=1,1.
  • No turno 2: média amostral \bar{x}_2=3,7 defeitos/h e desvio padrão amostral s_2=1,3.
  • Nível de significância \alpha=5\% = 0,05.
  • Pergunta: testar, ao nível de 5\%, se os turnos apresentam médias diferentes (ou seja, existência de diferença entre \mu_1 e \mu_2).

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (duas faces, porque queremos saber se as médias são diferentes):
H_0:\\ \mu_1=\mu_2
H_1:\\ \mu_1\neq\mu_2
Explicação simples: H_0 diz que as médias verdadeiras dos dois turnos são iguais; H_1 diz que são diferentes. Nosso objetivo é ver se os dados fornecem evidência suficiente para rejeitar H_0 ao nível \alpha=0,05.

Passo 3

Escolha do método de teste (explicação didática): não foi dada uma instrução explícita no enunciado, então usamos um teste de comparação de médias. As opções comuns são o teste t com variâncias assumidas iguais (teste t “poolado”) ou o teste de Welch (variâncias não iguais). Aqui s_1^2=1,21 e s_2^2=1,69 têm alguma diferença, e como o teste de Welch é mais robusto quando as variâncias podem ser diferentes e as amostras são de tamanho moderado, escolhemos o teste de Welch (não precisamos assumir variâncias iguais). O teste de Welch usa uma estatística similar à t mas com variância combinada e graus de liberdade aproximados.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste (teste de Welch) e significado das letras:
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}
Onde:
  • \bar{x}_1 e \bar{x}_2 são as médias amostrais (dados).
  • s_1^2 e s_2^2 são as variâncias amostrais (ou seja, s_1^2=(s_1)^2).
  • n_1 e n_2 são os tamanhos das amostras.
    Essa fórmula mede quantos desvios-padrão amostrais separa as duas médias; quanto maior em magnitude, mais forte a evidência contra H_0.

Passo 5

Calculando a diferença das médias (numerador):
\bar{x}_1-\bar{x}_2 = 4,2 - 3,7 = 0,5.

Passo 6

Calculando as variâncias amostrais e o denominador:
s_1^2 = 1,1^2 = 1,21,\qquad s_2^2 = 1,3^2 = 1,69.
Agora a soma das variâncias normalizadas:
\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}=\frac{1,21}{30}+\frac{1,69}{30}=\frac{2,90}{30}=0,096666\ldots
A raiz quadrada (desvio padrão combinado) é
\sqrt{0,096666\ldots}\approx 0,31099.
Agora a estatística t fica
t=\frac{0,5}{0,31099}\approx 1,6069\approx 1,61.
Interpretação numérica: as médias diferem por cerca de 1,61 desvios-padrão amostrais combinados — não é um valor muito grande.

Passo 7

Cálculo dos graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) e explicação:
A fórmula é
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}+\dfrac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}},
onde \nu é o número efetivo de graus de liberdade (pode não ser inteiro). Calculamos as partes:
\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2=(0,096666\ldots)^2\approx 0,009347.
\frac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}=\frac{1,21^2}{30^2\cdot 29}=\frac{1,4641}{900\cdot 29}=\frac{1,4641}{26100}\approx 0,00005610,
\frac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}=\frac{1,69^2}{900\cdot 29}=\frac{2,8561}{26100}\approx 0,00010940.
Somando o denominador:
0,00005610+0,00010940\approx 0,00016550.
Portanto
\nu \approx \frac{0,009347}{0,00016550}\approx 56,49\approx 56{,}5.
Usamos \nu\approx 56{,}5 (na prática tabelas ou software usam valor não inteiro ou arredondam para 56). Esse é o número de graus de liberdade efetivos para comparar o t com a distribuição t.

Passo 8

Regra de decisão e valor crítico:
  • Teste é bicaudal com \alpha=0,05, então cada cauda tem \alpha/2=0,025.
  • O valor crítico é t_{0,025,\nu}. Para \nu\approx56, obtém-se aproximadamente
t_{0,025,56}\approx 2,003.
Comparação: |t|=1,607 < 2,003. Portanto não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.

Passo 9

Cálculo aproximado do valor-p e interpretação:
O valor-p bicaudal é
p\text{-valor}=2\big(1-F_{t,\nu}(|t|)\big),
onde F_{t,\nu} é a função de distribuição acumulada da t com \nu graus de liberdade. Com |t|\approx1,607 e \nu\approx56, obtemos aproximadamente
p\text{-valor}\approx 0,112.
Isso confirma a decisão: p\text{-valor}>0,05, então não há evidência estatística suficiente para afirmar que as médias dos turnos são diferentes.

Passo 10

Conclusão em palavras (prática de prova e interpretação): os dados mostram uma diferença amostral de 0,5 defeitos/h entre os turnos, mas essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de 5\% quando usamos o teste de Welch. Em termos práticos: com estas amostras e variações observadas, não podemos concluir que os turnos têm médias diferentes — pode ser apenas variação amostral. Força! Esse tipo de problema é bem comum em provas: identificar hipóteses, escolher entre t poolado ou Welch (quando houver dúvida, Welch é mais seguro), calcular t, graus de liberdade e comparar com t crítico ou usar p-valor.

Resposta

Não se rejeita H_0. Não há evidência significativa, ao nível de 5\%, de que as médias dos dois turnos sejam diferentes. ( t\approx1,61, \mathrm{gl}\approx56{,}5, p\approx0,112).

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