Uma fábrica opera dois turnos independentes. O número de peças defeituosas por hora foi medido em amostras de 30 horas de cada turno. No turno 1 , observou-se média de 4,2 defeitos/h e desvio 1,1 ; no turno 2 , média 3,7 defeitos/h e desvio 1,3 . Teste, ao nível de
, se os turnos apresentam médias diferentes.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Amostras independentes de tamanho
e . - No turno 1: média amostral
defeitos/h e desvio padrão amostral . - No turno 2: média amostral
defeitos/h e desvio padrão amostral . - Nível de significância
. - Pergunta: testar, ao nível de
, se os turnos apresentam médias diferentes (ou seja, existência de diferença entre e ).
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste (duas faces, porque queremos saber se as médias são diferentes):
Explicação simples:
diz que as médias verdadeiras dos dois turnos são iguais;
diz que são diferentes. Nosso objetivo é ver se os dados fornecem evidência suficiente para rejeitar
ao nível
.
Passo 3
Escolha do método de teste (explicação didática): não foi dada uma instrução explícita no enunciado, então usamos um teste de comparação de médias. As opções comuns são o teste t com variâncias assumidas iguais (teste t “poolado”) ou o teste de Welch (variâncias não iguais). Aqui
e
têm alguma diferença, e como o teste de Welch é mais robusto quando as variâncias podem ser diferentes e as amostras são de tamanho moderado, escolhemos o teste de Welch (não precisamos assumir variâncias iguais). O teste de Welch usa uma estatística similar à t mas com variância combinada e graus de liberdade aproximados.
Passo 4
Fórmula da estatística de teste (teste de Welch) e significado das letras:
Onde:
-
e são as médias amostrais (dados). -
e são as variâncias amostrais (ou seja, ). -
e são os tamanhos das amostras.
Essa fórmula mede quantos desvios-padrão amostrais separa as duas médias; quanto maior em magnitude, mais forte a evidência contra.
Passo 5
Calculando a diferença das médias (numerador):
Passo 6
Calculando as variâncias amostrais e o denominador:
Agora a soma das variâncias normalizadas:
A raiz quadrada (desvio padrão combinado) é
Agora a estatística
fica
Interpretação numérica: as médias diferem por cerca de
desvios-padrão amostrais combinados — não é um valor muito grande.
Passo 7
Cálculo dos graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) e explicação:
A fórmula é
A fórmula é
onde
é o número efetivo de graus de liberdade (pode não ser inteiro). Calculamos as partes:
Somando o denominador:
Portanto
Usamos
(na prática tabelas ou software usam valor não inteiro ou arredondam para 56). Esse é o número de graus de liberdade efetivos para comparar o
com a distribuição t.
Passo 8
Regra de decisão e valor crítico:
- Teste é bicaudal com
, então cada cauda tem . - O valor crítico é
. Para , obtém-se aproximadamente
Comparação:
. Portanto não rejeitamos
ao nível de
.
Passo 9
Cálculo aproximado do valor-p e interpretação:
O valor-p bicaudal é
O valor-p bicaudal é
onde
é a função de distribuição acumulada da
com
graus de liberdade. Com
e
, obtemos aproximadamente
Isso confirma a decisão:
, então não há evidência estatística suficiente para afirmar que as médias dos turnos são diferentes.
Passo 10
Conclusão em palavras (prática de prova e interpretação): os dados mostram uma diferença amostral de
defeitos/h entre os turnos, mas essa diferença não é estatisticamente significativa ao nível de
quando usamos o teste de Welch. Em termos práticos: com estas amostras e variações observadas, não podemos concluir que os turnos têm médias diferentes — pode ser apenas variação amostral. Força! Esse tipo de problema é bem comum em provas: identificar hipóteses, escolher entre t poolado ou Welch (quando houver dúvida, Welch é mais seguro), calcular
, graus de liberdade e comparar com t crítico ou usar p-valor.
Resposta
Não se rejeita
. Não há evidência significativa, ao nível de
, de que as médias dos dois turnos sejam diferentes. (
,
,
).