Deseja-se umidificar uma corrente de ar através da sua passagem por um umidificador cilíndrico com 25 cm de diâmetro e 1,5 \mathrm{~m} de altura, no qual escoa um filme de água pela parede externa do dispositivo. Considerando o sistema todo a 30^{\circ} \mathrm{C}, e que o ar é soprado a 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma umidade relativa de 25 \% sobre o umidificador, calcule a taxa de evaporação da água.

Passo 1

O enunciado descreve um umidificador cilíndrico de diâmetro D=0{,}25\\ \mathrm{m} e altura L=1{,}5\\ \mathrm{m} sobre o qual um filme de água evapora para um escoamento de ar a 30^\circ\mathrm{C}, velocidade u=1{,}5\\ \mathrm{m/s} e umidade relativa de 25\%. O objetivo é calcular a taxa de evaporação de água. O conteúdo usado será transferência convectiva de massa: vamos estimar o coeficiente de transferência de massa k_c via número de Sherwood e depois usar o balanço de vapor para obter a vazão mássica de evaporação.

Passo 2

Primeiro, a área de contato água–ar é a área lateral do cilindro, dada por
A = \pi\,D\,L = \pi\times0{,}25\times1{,}5 \approx1{,}18\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Propriedades do ar a 30^\circ\mathrm{C} e pressão atmosférica:
densidade \rho=1{,}165\\ \mathrm{kg/m^3}, viscosidade dinâmica \mu=1{,}87\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, difusividade do vapor de água em ar D_{AB}=2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Calculamos os números adimensionais de escoamento e difusão:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,u\,D}{\mu} =\frac{1{,}165\times1{,}5\times0{,}25}{1{,}87\times10^{-5}} \approx2{,}3\times10^{4},
\mathrm{Sc}=\frac{\mu}{\rho\,D_{AB}} =\frac{1{,}87\times10^{-5}}{1{,}165\times2{,}5\times10^{-5}} \approx0{,}64.

Passo 5

Usamos a correlação empírica para escoamento cruzado sobre cilindro,
\mathrm{Sh}=0{,}26\,\mathrm{Re}^{0{,}6}\,\mathrm{Sc}^{1/3},
e obtém-se
\mathrm{Sh}\approx0{,}26\,(2{,}3\times10^{4})^{0{,}6}\,(0{,}64)^{1/3} \approx93.
O coeficiente de transferência de massa é
k_c=\frac{\mathrm{Sh}\,D_{AB}}{D} =\frac{93\times2{,}5\times10^{-5}}{0{,}25} \approx9{,}3\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calculamos a razão de umidade (razão massa-vapor/masa-ar seco) saturada e na entrada:
pressão de vapor de saturação a 30^\circ\mathrm{C}: p_{sat}=4{,}243\\ \mathrm{kPa}.
Entrada: p_{v,\infty}=0{,}25\,p_{sat}=1{,}061\\ \mathrm{kPa}.
A relação de umidade é
Y=\frac{0{,}622\,p_v}{P - p_v},
onde P=101{,}3\\ \mathrm{kPa}. Logo
Y_s=\frac{0{,}622\times4{,}243}{101{,}3-4{,}243}\approx0{,}0272, \quad Y_\infty=\frac{0{,}622\times1{,}061}{101{,}3-1{,}061}\approx0{,}0066,
\Delta Y=Y_s - Y_\infty\approx0{,}0206.

Passo 7

O fluxo mássico de vapor por unidade de área é
N_A = k_c\,\rho\,\Delta Y =9{,}3\times10^{-3}\times1{,}165\times0{,}0206 \approx2{,}23\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/(m^2\,s)}.
Multiplicando pela área total, a vazão de evaporação é
\dot m = N_A\,A \approx2{,}23\times10^{-4}\times1{,}18 \approx2{,}63\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

A taxa de evaporação de água é cerca de
\dot m \approx2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s} \quad(\text{aproximadamente }0{,}95\\ \mathrm{kg/h}).

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