Questão 9)
Um leito fixo preenchido de naftaleno em formato esférico é utilizado para promover a sublimação pela passagem de ar. Supondo uma vazão conhecida e concentração inicial de naftaleno na corrente de ar, assim como os dados do leito (diâmetro das partículas, porosidade do leito, diâmetro do leito, etc.), desenvolva um modelo matemático unidimensional capaz de prever a concentração de naftaleno na saída do leito.
Por conta da baixa velocidade de escoamento no interior do leito, não é possível desconsiderar os efeitos de difusão axial na corrente de ar.

Passo 1

O enunciado pede um modelo unidimensional para a concentração de naftaleno c(z,t) na fase gasosa ao longo de um leito fixo de partículas esféricas, levando em conta convecção axial, difusão axial e o aporte de massa por sublimação das partículas sólidas. Vamos usar o modelo de escoamento plug-flow com dispersão axial (modelo de axial dispersion) e uma lei de transferência de massa na interface sólido-fluido.

Passo 2

Escrevemos o balanço de massa para um elemento de volume de leito de comprimento \Delta z. A variação de massa de naftaleno na fase gasosa é igual ao fluxo convectivo que entra menos o que sai, mais o fluxo difusivo que entra menos o que sai, mais o termo fonte devido à sublimação:
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\varepsilon\,c\,\Delta z\bigr) = \bigl[u\,c - D_{\rm ax}\,\frac{\partial c}{\partial z}\bigr]_{z} - \bigl[u\,c - D_{\rm ax}\,\frac{\partial c}{\partial z}\bigr]_{z+\Delta z} + \dot{m}_{\rm sub}\,\Delta z\,,
onde \varepsilon é a porosidade, u a velocidade superficial do fluido e D_{\rm ax} o coeficiente de difusão axial.

Passo 3

Passamos ao limite \Delta z\to0 e obtemos o balanço diferencial não-discreto. Reorganizando e dividindo por \Delta z:
\varepsilon\,\frac{\partial c}{\partial t} + u\,\frac{\partial c}{\partial z} = D_{\rm ax}\,\frac{\partial^2 c}{\partial z^2} + \dot{m}_{\rm sub}\,.

Passo 4

A taxa de sublimação por volume de leito \dot{m}_{\rm sub} é dada pela transferência de massa na interface das partículas esféricas. Para partículas de diâmetro d_p e área superficial específica a_s = \tfrac{6(1-\varepsilon)}{d_p}, usamos a lei de filme:
\dot{m}_{\rm sub} = (1-\varepsilon)\,a_s\,k_g\bigl(c_{s}^{*}-c\bigr),
onde k_g é o coeficiente de transferência de massa convectivo e c_{s}^{*} a concentração de equilíbrio da fase gasosa na superfície da partícula (função da temperatura).

Passo 5

Substituindo \dot{m}_{\rm sub} no balanço, o modelo transientemente acoplado fica:
\varepsilon\,\frac{\partial c}{\partial t} + u\,\frac{\partial c}{\partial z} = D_{\rm ax}\,\frac{\partial^2 c}{\partial z^2} + (1-\varepsilon)\,a_s\,k_g\bigl(c_{s}^{*}-c\bigr).

Passo 6

Definimos as condições de contorno e iniciais típicas (condições de Danckwerts no extremo de entrada):
\begin{cases} c(z,0)=0,& 0\le z\le L,\\[6pt] c(0,t)=c_0,& t>0,\\[6pt] \displaystyle \left.\frac{\partial c}{\partial z}\right|_{z=L}=0,& t>0. \end{cases}]

Resposta

O modelo unidimensional para c(z,t) é
\boxed{ \varepsilon\,\frac{\partial c}{\partial t} + u\,\frac{\partial c}{\partial z} = D_{\rm ax}\,\frac{\partial^2 c}{\partial z^2} + (1-\varepsilon)\,\frac{6(1-\varepsilon)}{d_p}\,k_g\bigl(c_{s}^{*}-c\bigr), }
com as condições
c(z,0)=0,\quad c(0,t)=c_0,\quad \left.\frac{\partial c}{\partial z}\right|_{z=L}=0.

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