Uma gota esférica de água de 0,05 \mathrm{~cm} de diâmetro está caindo com uma velocidade de 215 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} através de ar seco a 1 atm . Determine a taxa instantânea de evaporação da gota e a taxa de decréscimo de diâmetro da gota, em cm/s, se a superfície da gota está a 70^{\circ} \mathrm{F}.
Dados: Pressão de vapor da água a 70^{\circ} \mathrm{F} é igual a 0,0247 \mathrm{~atm}, densidade da água no filme igual 1,12 \times 10^{-3} \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, concentração molar igual a 3,88 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} / \mathrm{cm}^{3},
viscosidade da água no filme igual a 1,91 \times 10^{-4} \mathrm{~g} / \mathrm{cm} / \mathrm{s}, difusividade da água no ar igual a 2,5 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

Temos uma gota de água esférica de diâmetro \,d=0,05,cm caindo a u=215,cm/s em ar seco (1 atm), com a superfície a 70 °F. Queremos a taxa instantânea de evaporação e a taxa de decréscimo do diâmetro.
Conteúdo: transporte de massa convectivo ao redor de esfera. Usaremos o número de Reynolds e de Schmidt para achar o número de Sherwood pela correlação
Sh \;=\;2\;+\;0,6\,Re^{0,5}\,Sc^{0,33}
e depois
\dot n \;=\;k_c\,A\,(C_s-C_\infty), \quad k_c=\frac{Sh\,D}{d},
onde A=\pi d^2 é a área da esfera. Finalmente relacionamos perda de massa à variação de diâmetro pela conservação de massa do líquido.

Passo 2

Calcular Re e Sc. Propriedades do filme gasoso:
\rho_g=1{,}12\times10^{-3},g/cm³,
\mu_g=1{,}91\times10^{-4},g/(cm·s),
D=2{,}5\times10^{-5},m²/s =2{,}5\times10^{-1},cm²/s.
Re=\frac{\rho_g\,u\,d}{\mu_g} =\frac{(1{,}12\times10^{-3})(215)(0,05)}{1{,}91\times10^{-4}} \approx63
Sc=\frac{\mu_g}{\rho_g\,D} =\frac{1{,}91\times10^{-4}}{(1{,}12\times10^{-3})(2{,}5\times10^{-1})} \approx0{,}68

Passo 3

Correlações e taxa de evaporação molar:
Sh=2+0,6\,Re^{0,5}\,Sc^{0,33} =2+0,6\,(63)^{0,5}(0,68)^{0,33} \approx6,20
k_c=\frac{Sh\,D}{d} =\frac{6{,}20\,(2{,}5\times10^{-1})}{0,05} \approx31{,}0\;\text{cm/s}
Concentração molar na superfície C_s=3{,}88\times10^{-5},mol/cm³, ar seco C_\infty\approx0. Então
\dot n =k_c\,A\,(C_s-C_\infty) =31{,}0\;\bigl(\pi(0,05)^2\bigr)\;(3{,}88\times10^{-5}) \approx9{,}45\times10^{-6}\;\text{mol/s}.
Convertendo em massa ( M=18,g/mol):
\dot m =\dot n\,M \approx9{,}45\times10^{-6}\times18 =1{,}70\times10^{-4}\;\text{g/s}.

Passo 4

Taxa de variação do diâmetro: massa perdida \dot m=\rho_\ell\,\dot V, com \rho_\ell\approx1,g/cm³ e
V=\frac{\pi}{6}d^3 \quad\Rightarrow\quad \dot V=\frac{\pi}{2}d^2\,\frac{dd}{dt}.
Logo
\frac{dd}{dt} =\frac{\dot m}{\rho_\ell\,(\pi/2)\,d^2} =\frac{1{,}70\times10^{-4}}{1\cdot(\pi/2)\,(0,05)^2} \approx4,33\times10^{-2}\;\text{cm/s}.
Como o diâmetro diminui, o sinal é negativo.

Resposta

Taxa de evaporação:
\displaystyle \dot m\approx1{,}70\times10^{-4}\;\mathrm{g/s}
Taxa de decréscimo do diâmetro:
\displaystyle \frac{dd}{dt}\approx-4,33\times10^{-2}\;\mathrm{cm/s}

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