Uma reação química n A \rightarrow B de cinética de ordem m em relação ao reagente A ocorre em um reator catalítico com catalisadores esféricos não porosos. Formule um modelo matemático, utilizando um coeficiente convectivo de transferência de massa, que permita obter a taxa de conversão de A para uma dada composição molar do reagente no bulk da fase gasosa, y_{A \infty}.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo utilizado
Temos uma reação heterogênea de ordem m em relação a A,
n\,A \;\longrightarrow\; B,
ocorrendo sobre esferas catalíticas não porosas. O objetivo é relacionar a conversão de A à composição molar no bulk da fase gasosa, y_{A,\infty}, incluindo a resistência de filme gasoso através de um coeficiente convectivo de transferência de massa k_c. Usaremos: 1) balanço de massa na interfase gás–sólido (filme de gás), 2) lei de velocidade de superfície, 3) balanço de massa no reator (PFR).

Passo 2

Equação de transferência de massa no filme gasoso
Da teoria de filme gasoso temos que o fluxo molar de A por área de esfera, j_A, é dado por
j_A \;=\; k_c\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr),
onde C_{A,\infty} é a concentração de A no bulk ( C_{A,\infty}=y_{A,\infty}P/RT) e C_{A,s} é a concentração de A na superfície da esfera.

Passo 3

Lei de velocidade de reação na superfície
Sobre a superfície da partícula a reação obedece à cinética de ordem m:
r_s \;=\; k_r\,C_{A,s}^m
em mol \cdot( m^{2} \cdots) ^{-}^{1}. Se a_s for a área de superfície de esferas por volume de catalisador ( m^{2}/c m^{3}), então a taxa volumétrica de consumo de A é
r_v \;=\; a_s\,r_s \;=\; a_s\,k_r\,C_{A,s}^m.

Passo 4

Equilíbrio entre transferência de massa e reação
No estado estacionário, o fluxo de A que chega à superfície pelo filme é consumido pela reação:
k_c\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr) \;=\; k_r\,C_{A,s}^m.
Desse modo C_{A,s} é obtida implicitamente em função de C_{A,\infty} pela equação
k_c\,C_{A,\infty} \;=\; k_c\,C_{A,s} \;+\; k_r\,C_{A,s}^m.

Passo 5

Balanço de massa em um PFR contendo catalisador sólido
Para um escoamento tipo PFR em regime permanente e fluxo de gás constante, o balanço em um elemento infinitesimal de peso de catalisador dW é
\frac{dF_A}{dW} \;=\; -\,r_v \;=\; -\,a_s\,k_r\,C_{A,s}^m,
onde F_A é o fluxo molar de A. Escrevendo F_A=F_{T}\,y_A e C_{A,\infty}=y_AP/RT, obtemos a equação diferencial para a fração molar y_A ao longo do leito:
\frac{dy_A}{dW} \;=\; -\frac{a_s\,k_r}{F_{T}} \biggl(\frac{RT}{P}\biggr)^m \,C_{A,s}^m,
com C_{A,s} dado implicitamente por
k_c\Bigl(\tfrac{y_AP}{RT}-C_{A,s}\Bigr)=k_r\,C_{A,s}^m.

Resposta

Modelo matemático completo:
1. C_{A,\infty}=y_{A,\infty}\dfrac{P}{RT}. 2. Transferência de massa no filme:
j_A=k_c\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr).
3. Cinética de superfície:
r_s=k_r\,C_{A,s}^m, \quad r_v=a_s\,k_r\,C_{A,s}^m.
4. Equilíbrio filme–reação:
k_c\bigl(C_{A,\infty}-C_{A,s}\bigr)=k_r\,C_{A,s}^m.
5. Balanço no PFR:
\frac{dy_A}{dW} =-\frac{a_s\,k_r}{F_{T}} \Bigl(\tfrac{RT}{P}\Bigr)^m C_{A,s}^m,
com C_{A,s} obtido da equação de passo 4.

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