O equipamento de destilação em batelada composto de um tanque de vaporização, uma coluna de 2 pratos, condensador total com refluxo líquido saturado operando a 1 atm deve separar uma solução aquosa de metanol. A coluna opera com variação da razão de Copyright © 2024 de Marisa Fernandes Mendes. Proibida a reprodução. Todos os direitos reservados.
Apostila de Exercícios de OP II
Prof. Marisa F. Mendes refluxo e xp é mantido constante igual a 85 \% molar de metanol. A carga inicial é igual a 10 kgmoles com 40 \% molar de metanol. Desejando uma concentração final de metanol no vaporizador de 8 \% molar, determine:
a) A razão de refluxo externa inicial que deve ser usada;
b) A razão de refluxo externa final do processo e
c) A quantidade de produto de topo produzido e a quantidade de líquido no vaporizador no final do processo.

Passo 1

O enunciado (interpretado onde houve texto cortado) dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo.
  • Dados do problema (lista de todas as informações relevantes dadas):
    • Coluna de destilação em batelada com condensador total, refluxo líquido saturado, operação à pressão 1\\ \text{atm}.
    • A coluna tem 2 pratos (interpreto como N=2 pratos teóricos na seção de retificação; se o seu professor contava o condensador ou o reboiler de forma diferente, isso deve ser confirmado, mas aqui uso N=2 estágios efetivos).
    • A composição do produto de topo é mantida constante em x_p = 85\% molar de metanol. Vou denotar isso por \;x_D = 0{,}85.
    • Carga inicial (total de matéria no vaporizador) \;N_0 = 10\\ \text{kmol} com composição inicial \;z_0 = 40\% = 0{,}40 em metanol.
    • Deseja-se terminar o processo com a corrente líquida no vaporizador contendo \;x_B = 8\% = 0{,}08 molar de metanol.
  • O que é pedido:
    a) A razão de refluxo externa inicial que deve ser usada (valor numérico de R_{\text{inicial}}).
    b) A razão de refluxo externa final do processo (valor numérico de R_{\text{final}}).
    c) A quantidade de produto de topo produzida ( D) e a quantidade de líquido no vaporizador no final do processo ( B — o “restante” do batel).
Observação importante: o enunciado não fornece a relação de equilíbrio vapor–líquido (curva VLE) ou a volatilidade relativa média da mistura metanol–água à pressão de operação, nem constantes de Antoine ou outra forma de y=f(x). Essas informações são necessárias para determinar numericamente as razões de refluxo (itens a e b). O item (c) — quantidades finais — pode ser obtido por balanço de materiais apenas com as composições dadas e não precisa de VLE. Vou explicar passo a passo a teoria e o procedimento para calcular (a) e (b) caso você tenha (ou o professor forneça) a curva VLE ou a volatilidade relativa; depois resolvo (c) numericamente com os dados que temos.

Passo 2

Por que falta informação para calcular as razões de refluxo e que dados são necessários?
  • Para determinar numericamente a razão de refluxo necessária para uma dada composição de topo \;x_D com um número finito de pratos \;N é preciso conhecer a curva de equilíbrio vapor–líquido à pressão de trabalho, isto é a função y = f(x)onde \;x é a fração molar do componente mais volátil (metanol) no líquido e \;y é a fração molar no vapor (ambas na mesma base). Essa curva pode vir de dados experimentais VLE, de Raoult + Antoine (se a mistura for ideal ou praticamente ideal) ou de uma volatilidade relativa média \alpha aproximada.
  • Sem essa curva não há como traçar a linha de equilíbrio nem saber a interseção com a linha operacional da seção de retificação, e portanto não se pode calcular numericamente R.
  • Se você tiver UMA das alternativas seguintes eu posso calcular R:
    1. A curva VLE completa (pares (x,y) ou expressão y=f(x)) à 1\\ \text{atm}.
    2. Valores de constantes de Antoine suficientemente precisos para metanol e água para montar Raoult + Antoine e obter y=f(x).
    3. Uma volatilidade relativa média \alpha válida para a faixa de composição em questão (ex.: \alpha_{\text{média}} = 2{,}0é — isso é um valor que alguns exercícios admitem).
Enquanto o dado de VLE estiver ausente, eu NÃO vou inventar um \alpha ou a curva; em vez disso vou explicar as duas formas padrão de calcular R se o VLE/α estiver disponível (método gráfico de McCabe–Thiele e método analítico aproximado Fenske–Underwood–Gilliland).

Passo 3

Como se calcula a razão de refluxo por McCabe–Thiele (método gráfico) — explicação didática e todas as fórmulas envolvidas
  • Ideia geral: para uma coluna de retificação (seção rectificadora) com refluxo R e produto de topo com composição \;x_D, a equação da linha operacional da seção rectificadora (supondo condensador total e retirada de destilado D) é y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.Explicação das variáveis:
    • \;y: fração molar de metanol no vapor que sobe a partir de um prato,
    • \;x: fração molar de metanol no líquido naquele prato,
    • \;R: razão de refluxo externa definida como R = L/D, onde L é a vazão molar do refluxo líquido para a coluna e D é a vazão molar do destilado retirado.
    • \;x_D: composição do destilado (produto de topo) conhecida; aqui \;x_D = 0{,}85.
  • Procedimento (gráfico clássico):
    1. Plotar no gráfico y vs x a curva de equilíbrio y=f(x).
    2. Para um palpite de R, traçar a linha operacional acima: intercepta o eixo y em y=(x_D)/(R+1) e tem inclinação R/(R+1).
    3. Começando em (x_D,x_D) no topo (condensador total; ponto de operação), fazer “degraus” alternando para esquerda e para baixo entre a linha de equilíbrio (para converter y \to x) e a linha operacional (para converter x \to y), contando quantos degraus até atingir a composição do vaporizador (fundo) desejada x_B.
    4. Ajustar R até que o número de degraus (estágios teóricos) seja igual ao número disponível N (aqui N=2). Aquele R é a razão de refluxo requerida.
  • Observações:
    • Esse é um método gráfico; para fazer numericamente é necessário conhecer y=f(x) (VLE).
    • O mínimo refluxo R_{\min} corresponde à situação em que a linha operacional tangencia a curva de equilíbrio (infinitos estágios). R deve ser maior que R_{\min}.
    • Se você precisa de um valor prático rapidamente sem gráfico, pode usar correlações (ver passo seguinte) que relacionam R e N.

Passo 4

Método analítico aproximado (Fenske–Underwood–Gilliland) — quando é útil e fórmulas
Esses são três passos usados em conjunto para projetar colunas de destilação contínuas, mas também aplicáveis como aproximação para destilação por batelada quando se assume comportamento parecido.
  1. Fenske (número mínimo de estágios em refluxo infinito):
    • Fórmula (assumindo uma volatilidade relativa constante média \alpha):
    N_{\min} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln \alpha}
    • Onde:
      • \;x_D é a fração molar do componente mais volátil no destilado,
      • \;x_B é a fração molar no fundo (aqui o objetivo final),
      • \;\alpha é a volatilidade relativa média metanol/água (número adimensional > 1).
    • Interpretação: \;N_{\min} é o número de estágios teóricos necessário se estivermos em refluxo total (R → ∞).
  2. Underwood (calcula R_{\min} com base em \alpha e composições):
    • Underwood fornece equações para R_{\min} — envolve resolver uma equação para um parâmetro \theta (raiz de Underwood):
    \sum_i \frac{q_i z_i}{\alpha_i - \theta} = 1
    (em binário a expressão é simples; aqui q_i e z_i são fração molares do estado de alimentação; para batelada pode-se adaptar ou assumir q=1 para líquido carregado). Depois usa-se:
    R_{\min} = \sum_i \frac{\alpha_i x_{D,i}}{\alpha_i - \theta} - 1.
    • Em mistura binária e se adotar \alpha constante, a aplicação fica bem direta, mas é um pouco mais técnica (precisa resolver para \theta).
  3. Gilliland (correlação entre R e N para estágios finitos):
    • Dá a relação empírica entre o excesso de refluxo \;R - R_{\min} e o número de estágios finitos N comparado a N_{\min}. A forma empírica comum é:
    Y = 1 - \exp\!\Big[ -\,\frac{1 + 54.4 X}{11 + 117.2 X} X \Big]
    com
    X = \frac{N - N_{\min}}{N + 1},\qquad Y = \frac{R - R_{\min}}{R + 1}.
    • Resolve-se esta equação numericamente para R dado N, N_{\min} e R_{\min}.
  • Resumo de uso: se você tem uma estimativa de \alpha (ou o VLE), pode:
    1. Calcular N_{\min} pela fórmula de Fenske.
    2. Calcular R_{\min} por Underwood.
    3. Usar Gilliland para achar R para o N finito (aqui N=2).
  • Tudo isso requer \alpha ou VLE. Sem esses dados não é possível obter números para (a) e (b).

Passo 5

Como se calcula a variação da razão de refluxo ao longo do batel (por que R inicial e R final podem ser diferentes)
  • Em destilação por batel onde se mantém constante a composição do destilado \;x_D (como aqui), para diferentes composições do líquido no vaporizador (inicialmente z_0, depois variando até x_B), a geometria do problema muda: o ponto que serve de “fundo” na macetagem de McCabe–Thiele é a composição atual do vaporizador. Assim, para manter x_D fixo com o mesmo número de pratos, a razão de refluxo R necessária mudará conforme muda a composição no vaporizador. Por isso há um R_{\text{inicial}} (quando o batel está em z_0) e um R_{\text{final}} (quando o batel está em x_B). O procedimento para obter esses dois valores é idêntico: para cada composição do fundo considerada, ajustar R até que o número de degraus (ou a condição Fenske–Gilliland) dê N=2.

Passo 6

Cálculo das quantidades produtivas (item c) — balanços materiais simples (resolvível sem VLE)
Agora fazemos as contas de balanço que só precisam das composições e da carga inicial. Vamos determinar a quantidade total de destilado D (produto de topo) e a quantidade de líquido remanescente no vaporizador B ao final.
  • Variáveis:
    • \;N_0 = total inicial = 10\\ \text{kmol}.
    • \;z_0 = 0{,}40 (fração molar de metanol na carga inicial).
    • \;x_D = 0{,}85 (fração molar no produto de topo).
    • \;x_B = 0{,}08 (fração molar no líquido que resta no vaporizador ao final).
    • \;D = moles totais destilados (o que pedem).
    • \;B = moles restantes no vaporizador ao final (= N_0 - D).
  • Balanço de componente metanol (balanceando mols de metanol total):
    N_0 z_0 = D x_D + B x_B.
    Como B = N_0 - D, substituímos:
    N_0 z_0 = D x_D + (N_0 - D) x_B = N_0 x_B + D (x_D - x_B).
    Isolando D:
    D = \frac{N_0 (z_0 - x_B)}{x_D - x_B}.
  • Agora substituímos os números (atenção ao uso de vírgula decimal conforme pedido):
    N_0 (z_0 - x_B) = 10 \times (0{,}40 - 0{,}08) = 10 \times 0{,}32 = 3{,}2.
x_D - x_B = 0{,}85 - 0{,}08 = 0{,}77.
D = \frac{3{,}2}{0{,}77} \approx 4{,}15584\\ \text{kmol}.
Arredondando razoavelmente:
D \approx 4{,}156\\ \text{kmol}.
B = N_0 - D = 10 - 4{,}15584 \approx 5{,}84416\\ \text{kmol} \approx 5{,}844\\ \text{kmol}.
  • Interpretação física: para arrancar do líquido inicial com 40\% e coletar destilado a 85\% até que o líquido no vaporizador atinja 8\%, serão obtidos cerca de 4{,}156\\ \text{kmol} de destilado e restarão 5{,}844\\ \text{kmol} no vaporizador.

Passo 7

Resumo do que falta para terminar (a) e (b) numericamente e como proceder com esses dados
  • Para calcular numericamente:
    • R_{\text{inicial}}: aplicar McCabe–Thiele (ou Fenske–Underwood–Gilliland com \alpha conhecido) usando como “composição de fundo” inicial z_0 = 0{,}40 e N=2; ajustar R até obter 2 estágios.
    • R_{\text{final}}: repetir procedimento com x_B = 0{,}08 como composição de fundo final; ajustar R para 2 estágios.
  • Dados que você pode me fornecer (ou que o enunciado original pode conter) para que eu compute (a) e (b) numericamente:
    • Curva VLE metanol–água a 1\\ \text{atm} (pares x,y ou expressão), ou
    • Constantes de Antoine para metanol e água suficientes para montar Raoult e calcular y(x), ou
    • Uma volatilidade relativa média \alpha válida para a faixa de composição (por exemplo, um valor que seu professor tenha sugerido).
Motivação final e incentivo: eu sei que é muita coisa e que o enunciado ficou confuso pela inserção do aviso de copyright, mas a parte prática (c) está feita acima. Se você me der o VLE ou um valor de \alpha, eu executo imediatamente os cálculos para (a) e (b) passo a passo (posso até mostrar o procedimento numérico equivalente ao McCabe–Thiele se preferir cálculo em tabela em vez de gráfico). Força — já tem quase metade pronto!

Resposta

(a) Não é possível determinar numericamente sem a curva VLE ou a volatilidade relativa média \alpha (dados de equilíbrio são necessários para calcular R_{\text{inicial}}).
(b) Não é possível determinar numericamente sem a curva VLE ou a volatilidade relativa média \alpha (dados de equilíbrio são necessários para calcular R_{\text{final}}).
(c) D \approx 4{,}156\\ \text{kmol} (produto de topo)
B \approx 5{,}844\\ \text{kmol} (líquido restante no vaporizador)

Exercícios relacionados