Uma mistura de benzeno e tolueno deve ser separada em um equipamento de destilação em batelada simples que opera a 1 atm , composto somente do vaporizador e condensador. A carga F é igual a 4 kgmoles com composição de 60 \% molar de benzeno e a volatilidade do benzeno em relação ao tolueno constante e igual a 2,5. Determine:
A composição do destilado para \mathrm{X}_{\mathrm{B}, \mathrm{f}}=0,2 e

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
  • Mistura binária: benzeno (componente mais volátil) e tolueno.
  • Carga inicial: F=4 \text{kmol}.
  • Composição inicial em benzeno: x_{B,0}=0{,}60 (fração molar).
  • Volatilidade relativa constante do benzeno em relação ao tolueno: \alpha=2{,}5.
  • Processo: destilação em batelada simples (apenas vaporizer e condensador), sem indicação de refluxo, portanto consideramos a operação de retirada contínua do destilado (o balanço diferencial padrão, Rayleigh).
  • O pedido: determinar a composição do destilado quando a composição final do líquido residual (bottoms) é x_{B,f}=0{,}20.

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
  1. O que é volatilidade relativa \alpha: é uma medida de quão mais volátil é o benzeno em relação ao tolueno. Para baixa pressão e comportando-se como uma mistura ideal, se x é a fração molar do benzeno na fase líquida e y a fração molar do benzeno na fase vapor, a hipótese de volatilidade relativa constante dá a relação
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
Aqui:
  • x = fração molar de benzeno no líquido,
  • y = fração molar de benzeno no vapor em equilíbrio com esse líquido,
  • \alpha = volatilidade relativa (dada).
  1. Equação de Rayleigh (balanço diferencial para destilação em batelada sem refluxo): relaciona a variação do número de mols de líquido L no reator com a variação da composição líquida x:
\ln\frac{L_0}{L}=\int_{x}^{x_0}\frac{d x}{y-x},
onde L_0 é a quantidade inicial de líquido (igual a F) e L é a quantidade de líquido em um dado instante (no final será W, o fundo). Para nossa finalidade, usando os limites entre a composição inicial x_0 e a final x_f, a forma prática é
\ln\frac{F}{W}=\int_{x_f}^{x_0}\frac{d x}{y-x}.
  1. Para calcular a composição média do destilado coletado entre o início e o instante final, usamos o balanço de massa do componente benzeno:
  • Mols de benzeno inicialmente: F x_{B,0}.
  • Mols de benzeno nos fundos finais: W x_{B,f}.
  • Mols de benzeno no destilado total coletado: F x_{B,0} - W x_{B,f}.
  • Quantidade total de destilado coletado: D=F-W.
    Logo, fração molar média de benzeno no destilado:
\bar{y}_B=\frac{F x_{B,0}-W x_{B,f}}{F-W}.
Nosso objetivo é calcular W pela equação de Rayleigh e então obter \bar{y}_B.

Passo 3

Aplicando a relação y(x) no integrando da equação de Rayleigh e simplificando a integral.
Primeiro escrevemos y-x substituindo y=\dfrac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}:
y-x=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x =\frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x}.
Portanto
\frac{1}{y-x}=\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}.
A integral da equação de Rayleigh torna-se
\ln\frac{F}{W}=\int_{x_f}^{x_0}\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}\,dx.
Fazemos decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{1-x}.
Multiplicando por x(1-x) e comparando coeficientes obtemos
A=\frac{1}{\alpha-1},\qquad B=\frac{\alpha}{\alpha-1}.
Assim a integral é simples:
\int_{x_f}^{x_0}\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{1-x}\right)dx = A\ln\frac{x_0}{x_f} - B\ln\frac{1-x_0}{1-x_f}.
Substituindo A e B:
\ln\frac{F}{W}=\frac{1}{\alpha-1}\ln\frac{x_0}{x_f}-\frac{\alpha}{\alpha-1}\ln\frac{1-x_0}{1-x_f}.
Reagrupando em uma única expressão conveniente:
\ln\frac{F}{W}=\frac{1}{\alpha-1}\ln\!\left(\frac{x_0}{x_f}\left(\frac{1-x_f}{1-x_0}\right)^{\!\alpha}\right).

Passo 4

Cálculo numérico de W usando os dados: F=4, x_0=0{,}60, x_f=0{,}20, \alpha=2{,}5.
Calculemos passo a passo os termos:
\frac{x_0}{x_f}=\frac{0{,}60}{0{,}20}=3.
\frac{1-x_f}{1-x_0}=\frac{0{,}80}{0{,}40}=2.
\left(\frac{1-x_f}{1-x_0}\right)^{\alpha}=2^{2{,}5}=2^{2}\cdot2^{0{,}5}=4\cdot\sqrt{2}\approx4\cdot1{,}41421356\approx5{,}65685425.
Multiplicando:
\frac{x_0}{x_f}\left(\frac{1-x_f}{1-x_0}\right)^{\alpha}=3\cdot5{,}65685425\approx16{,}97056275.
Agora aplicamos o fator 1/(\alpha-1)=1/1{,}5=2/3. Assim
\frac{F}{W}=\left(16{,}97056275\right)^{2/3}.
Calculando numericamente:
\left(16{,}97056275\right)^{2/3}\approx6{,}6067.
Logo
W=\frac{F}{6{,}6067}=\frac{4}{6{,}6067}\approx0{,}6053\\ \text{kmol}.

Passo 5

Agora usamos o balanço de massa do benzeno e calculamos a composição média do destilado.
Mols de benzeno inicialmente:
F x_{B,0}=4\cdot0{,}60=2{,}4\\ \text{kmol}.
Mols de benzeno nos fundos finais:
W x_{B,f}=0{,}6053\cdot0{,}20\approx0{,}1211\\ \text{kmol}.
Mols de benzeno no destilado total:
2{,}4-0{,}1211=2{,}2789\\ \text{kmol}.
Quantidade total de destilado coletado:
D=F-W=4-0{,}6053=3{,}3947\\ \text{kmol}.
Fraçãomolar média de benzeno no destilado:
\bar{y}_B=\frac{2{,}2789}{3{,}3947}\approx0{,}6716.
Em porcentagem molar isto é aproximadamente 67{,}16\%.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: o valor que encontramos é a composição média do destilado coletado desde o início até o instante em que o líquido remanescente atinge x_{B,f}=0{,}20. Se fosse pedido o perfil instantâneo do destilado ao longo do tempo, o valor instantâneo seria y(x) dado pela função de equilíbrio para cada x — aqui extraiu-se a média global usando balanço de massa. Você já consegue aplicar essa receita em outros números — tranquilo, tá indo bem!

Resposta

A composição molar média do destilado em benzeno é \bar{y}_B\approx0{,}672 (ou 67{,}2\% molar).

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