Desejamos determinar o valor de uma impedância desconhecida, Z_{C}, ligada a uma linha de transmissão tendo impedância característica de 100 \Omega. Removendo a carga, temos uma impedância de entrada de -\mathrm{j} 80 \Omega. Com a impedância desconhecida conectada, a impedância de entrada é 30+\mathrm{j} 40 \Omega. Determine a impedância desconhecida.

Passo 1

O enunciado nos dá uma linha de transmissão de impedância característica Z_{0}=100\:\Omega e comprimento \ell desconhecido. Medindo-se a entrada com a carga removida (isto é, carga aberta), obtém-se
Z_{\text{in, aberta}}=-\,\mathrm{j}\,80\:\Omega.
Depois, conectando-se uma impedância desconhecida Z_{C}, a entrada passa a ser
Z_{\text{in}}=30 + \mathrm{j}\,40\:\Omega.
O conteúdo aqui é a fórmula da impedância de entrada de uma linha de transmissão com carga genérica
Z_{\text{in}} =Z_{0}\,\frac{Z_{C}+ \mathrm{j}Z_{0}\tan(\beta\ell)}{\,Z_{0}+\mathrm{j}Z_{C}\tan(\beta\ell)\,}
e o caso especial de carga aberta
Z_{\text{in, aberta}} =-\,\mathrm{j}\,Z_{0}\cot(\beta\ell).
Vamos primeiro determinar \beta\ell e depois usar a primeira fórmula para achar Z_{C}.

Passo 2

Com carga aberta temos
Z_{\text{in, aberta}} =-\,\mathrm{j}\,80 \;=\; -\,\mathrm{j}\,Z_{0}\,\cot(\beta\ell) \;=\; -\,\mathrm{j}\,100\;\cot(\beta\ell).
Dividindo por -\mathrm{j}\,100 vem
\cot(\beta\ell)=\frac{80}{100}=0,8 \quad\Longrightarrow\quad \tan(\beta\ell)=\frac{1}{0,8}=1,25.

Passo 3

Agora usamos a medida com carga Z_{C}. Seja
Z_{C}=R_{L}+\mathrm{j}X_{L},
\displaystyle\tan(\beta\ell)=1{,}25 e Z_{0}=100. A fórmula geral dá
Z_{\text{in}} =100\,\frac{(R_{L}+\mathrm{j}X_{L})+\mathrm{j}\,100\,(1{,}25)} {100+\mathrm{j}(R_{L}+\mathrm{j}X_{L})\,(1{,}25)} =30+\mathrm{j}\,40.
Para simplificar, defina
N = R_{L}+\mathrm{j}(X_{L}+125), \quad D = (100-1{,}25X_{L})+\mathrm{j}(1{,}25R_{L}).
Então
\frac{N}{D} = \frac{30+\mathrm{j}40}{100} = 0{,}3+\mathrm{j}0{,}4.
Isto gera duas equações reais ao igualar
N = (0{,}3+\mathrm{j}0{,}4)\,D.

Passo 4

Escrevendo as partes real e imaginária:
  1. Parte real:
R_{L} =0{,}3\,(100-1{,}25X_{L}) \;-\;0{,}4\,(1{,}25R_{L}) =30 -0{,}375X_{L} -0{,}5R_{L},
isto é
1{,}5\,R_{L}=30 -0{,}375X_{L} \quad\Longrightarrow\quad R_{L}=20 -0{,}25X_{L}.
  1. Parte imaginária:
X_{L}+125 =0{,}4\,(100-1{,}25X_{L}) \;+\;0{,}3\,(1{,}25R_{L}) =40 -0{,}5X_{L} +0{,}375\,R_{L}.
Substituindo R_{L}=20-0{,}25X_{L} no lado direito:
X_{L}+125 =40 -0{,}5X_{L} +0{,}375\,(20-0{,}25X_{L}) =40 -0{,}5X_{L} +7{,}5 -0{,}09375X_{L} =47{,}5 -0{,}59375X_{L}.
Reorganizando:
X_{L}+125 =47{,}5 -0{,}59375X_{L} \quad\Longrightarrow\quad 1{,}59375\,X_{L} = -77{,}5 \quad\Longrightarrow\quad X_{L}\approx -48{,}62\:\Omega.
Então
R_{L}=20 -0{,}25(-48{,}62)\approx 20 +12{,}155=32{,}16\:\Omega.

Resposta

A impedância desconhecida é
Z_{C}\approx 32{,}2 \;-\mathrm{j}\,48{,}6\:\Omega.

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