O desempenho mínimo obrigatório para alguns sistemas de produção industrial deve ser avaliado por peritos. A probabilidade de uma avaliação correta por qualquer perito é 0,95 . Suponha que três peritos avaliem o sistema refrigeração de uma fábrica de alimentos e que as avaliações sejam independentes. Seja X a v.a. que designa o número de avaliações realizadas corretamente. Determine a função de probabilidade de X.
Resp.: \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=0,000125 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0,007125 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=2)=0,135375 ; \mathrm{P}(\mathrm{X}=3)=0,857375

Passo 1

O enunciado diz que cada perito acerta com probabilidade 0,95, as avaliações são independentes e há 3 avaliações. Definimos X como o número de acertos entre as três avaliações. O conteúdo envolvido é a distribuição binomial.

Passo 2

Como temos um número fixo de ensaios independentes n=3, cada um com sucesso (acerto) de probabilidade p=0,95 e fracasso de probabilidade 1-p=0,05, segue-se que
X \sim \mathrm{Binomial}(n=3,\,p=0,95).

Passo 3

A função de probabilidade de X é dada por
P(X=k)=\binom{3}{k}\,(0,95)^{k}\,(0,05)^{3-k},
para k=0,1,2,3.

Passo 4

Calcular P(X=0):
P(X=0)=\binom{3}{0}(0,95)^{0}(0,05)^{3} =1\cdot1\cdot(0,05)^{3} =0,000125.

Passo 5

Calcular P(X=1):
P(X=1)=\binom{3}{1}(0,95)^{1}(0,05)^{2} =3\cdot0,95\cdot(0,05)^{2} =3\cdot0,95\cdot0,0025 =0,007125.

Passo 6

Calcular P(X=2):
P(X=2)=\binom{3}{2}(0,95)^{2}(0,05)^{1} =3\cdot(0,95)^{2}\cdot0,05 =3\cdot0,9025\cdot0,05 =0,135375.

Passo 7

Calcular P(X=3):
P(X=3)=\binom{3}{3}(0,95)^{3}(0,05)^{0} =1\cdot(0,95)^{3}\cdot1 =0,857375.

Resposta

\mathrm{P}(X=0)=0,000125 \mathrm{P}(X=1)=0,007125 \mathrm{P}(X=2)=0,135375 \mathrm{P}(X=3)=0,857375

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