(Valor 1,5)
4) Considere a região R limitada pelas curvas y = -2x + 3, y = x^2 e pelo eixo x. Calcule a área de R.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão que pede para calcular a área da região limitada pelas curvas , e pelo eixo . Para isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde as curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre e . Vamos igualar as duas equações:

Passo 3

Rearranjando a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e :
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e . Vamos agora visualizar qual curva está acima da outra entre esses pontos para definir os limites da integral.

Passo 6

Escolhendo um valor de entre -3 e 1, por exemplo, :
Aqui, está acima de . Então, a área entre as curvas é dada pela integral da curva de cima menos a de baixo.

Passo 7

A fórmula para a área será:
Vamos resolver essa integral agora.

Passo 8

Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então,

Passo 9

Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:

Passo 10

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 11

Calculando a diferença:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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