(Valor 1,5)
4) Considere a região
limitada pelas curvas
e pelo eixo
. Calcule a área de R.
4) Considere a região
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão que pede para calcular a área da região
limitada pelas curvas
,
e pelo eixo
. Para isso, vamos usar cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde as curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre
e
. Vamos igualar as duas equações:
Passo 3
Rearranjando a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Assim, temos duas soluções:
Passo 5
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
. Vamos agora visualizar qual curva está acima da outra entre esses pontos para definir os limites da integral.
Passo 6
Escolhendo um valor de
entre -3 e 1, por exemplo,
:
Aqui,
está acima de
. Então, a área entre as curvas é dada pela integral da curva de cima menos a de baixo.
Passo 7
A fórmula para a área
será:
Vamos resolver essa integral agora.
Passo 8
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Então,
Passo 9
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 11
Calculando a diferença:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.