Desenhar o campo de direções para cada equação diferencial dada. Com base no campo de direções, determinar o comportamento de y quando t \rightarrow \infty.
b) y^{\prime}=t+2 y

Passo 1

O enunciado pede o campo de direções da EDO
y' = t + 2y
e, a partir dele, o comportamento de y(t) quando t\to\infty.
O conteúdo envolvido é:
– construção de campo de direções usando isoclinas;
– solução de EDO linear de 1ª ordem pela técnica do fator integrante;
– análise assintótica da solução geral.

Passo 2

No campo de direções, em cada ponto (t,y) a inclinação da reta é
m = y' = t + 2y.
As isoclinas m = c são dadas por
t + 2y = c \quad\Longleftrightarrow\quad y = -\tfrac12\,t + \tfrac c2,
retas de coeficiente angular -\tfrac12 que se deslocam para cima conforme c cresce.
Para t grande, mesmo que y seja moderado, t+2y fica grande e positivo, levando as linhas de campo a apontar fortemente pra cima — sinal de soluções que crescem rapidamente.

Passo 3

Vamos resolver explicitamente
y' - 2y = t.
O fator integrante é
\mu(t) = e^{-2t},
pois
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}y\bigr) = e^{-2t}\bigl(y' - 2y\bigr) = t\,e^{-2t}.

Passo 4

Integramos em t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}y\bigr)\,dt = \int t\,e^{-2t}\,dt.
Por partes, com u=t, dv=e^{-2t}dt, obtém-se
\int t\,e^{-2t}dt = -\tfrac12\,t\,e^{-2t} - \tfrac14\,e^{-2t} + C.
Logo
e^{-2t}y = -\tfrac12\,t\,e^{-2t} - \tfrac14\,e^{-2t} + C \quad\Longrightarrow\quad y(t) = C\,e^{2t} - \tfrac12\,t - \tfrac14.

Passo 5

Para t\to\infty, o termo C\,e^{2t} domina sobre -\tfrac12t-\tfrac14.
  • Se C>0, então y(t)\to +\infty exponencialmente.
  • Se C<0, então y(t)\to -\infty exponencialmente.
  • Se C=0, sobra y(t)=-\tfrac12t-\tfrac14\to -\infty de forma linear.

Resposta

As soluções divergem conforme
y(t)=C\,e^{2t}-\tfrac12t-\tfrac14,
dominadas pelo termo C\,e^{2t}. Portanto, para t\to\infty,
– se C>0, y\to+\infty;
– se C\le0, y\to-\infty.

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