Desenhar o campo de direções para cada equação diferencial dada. Com base no campo de direções, determinar o comportamento de
quando
.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede o campo de direções da EDO
e, a partir dele, o comportamento de
quando
.
O conteúdo envolvido é:
– construção de campo de direções usando isoclinas;
– solução de EDO linear de 1ª ordem pela técnica do fator integrante;
– análise assintótica da solução geral.
O conteúdo envolvido é:
– construção de campo de direções usando isoclinas;
– solução de EDO linear de 1ª ordem pela técnica do fator integrante;
– análise assintótica da solução geral.
Passo 2
No campo de direções, em cada ponto
a inclinação da reta é
As isoclinas
são dadas por
retas de coeficiente angular
que se deslocam para cima conforme
cresce.
Para grande, mesmo que
seja moderado,
fica grande e positivo, levando as linhas de campo a apontar fortemente pra cima — sinal de soluções que crescem rapidamente.
Para
Passo 3
Vamos resolver explicitamente
O fator integrante é
pois
Passo 4
Integramos em
:
Por partes, com
,
, obtém-se
Logo
Passo 5
Para
, o termo
domina sobre
.
- Se
, então exponencialmente. - Se
, então exponencialmente. - Se
, sobra de forma linear.
Resposta
As soluções divergem conforme
dominadas pelo termo
. Portanto, para
,
– se ,
;
– se ,
.
– se
– se