Resolver a equação diferencial proposta, pelo método de separação de variáveis:
c. y^{\prime}=\left(\cos ^{2} x\right)\left(\cos ^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = \bigl(\cos^2 x\bigr)\,\bigl(\cos^2 y\bigr)
usando o método de separação de variáveis. Vamos identificar que podemos colocar todos os termos em y de um lado e em x do outro e, em seguida, integrar cada parte.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{dy}{dx} = \cos^2 x \,\cos^2 y
de modo que
\frac{dy}{\cos^2 y} = \cos^2 x \,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. No lado esquerdo temos
\int \frac{dy}{\cos^2 y} = \int \operatorname{sec}^2 y\,dy
e sabemos que
\int \operatorname{sec}^2 y\,dy = \tan y + C_1.

Passo 4

No lado direito usamos a identidade \cos^2 x = \tfrac{1+\cos2x}{2}. Então
\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1+\cos2x}{2}\,dx = \frac12\int 1\,dx + \frac12\int \cos2x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C_2.

Passo 5

Igualando as integrais e juntando as constantes C = C_2 - C_1, obtemos
\tan y = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C.
Para explicitar y, aplicamos a função arco-tangente:

Resposta

y(x) = \arctan\!\Bigl(\frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C\Bigr),
onde C é a constante de integração.

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