Resolver a equação diferencial proposta, pelo método de separação de variáveis:
d. y^{\prime}=\frac{x-e^{-x}}{y+e^{y}}\'

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
y' = \frac{x - e^{-x}}{y + e^{y}}.
Aqui usamos que y'=\frac{dy}{dx} e que podemos separar os termos em x e y antes de integrar.

Passo 2

Escrevendo y'=\frac{dy}{dx} e separando os fatores com y de um lado e com x do outro, obtemos
(y + e^{y})\,dy = (x - e^{-x})\,dx.

Passo 3

Integramos o lado esquerdo em relação a y:
\int (y + e^{y})\,dy = \int y\,dy + \int e^{y}\,dy = \frac{y^{2}}{2} + e^{y}.

Passo 4

Integramos o lado direito em relação a x:
\int (x - e^{-x})\,dx = \int x\,dx - \int e^{-x}\,dx = \frac{x^{2}}{2} -(-e^{-x}) = \frac{x^{2}}{2} + e^{-x}.

Passo 5

Igualando as duas primitivas e adicionando a constante de integração C, chega-se à solução implícita geral
\frac{y^{2}}{2} + e^{y} = \frac{x^{2}}{2} + e^{-x} + C.

Resposta

\frac{y^{2}}{2} + e^{y} = \frac{x^{2}}{2} + e^{-x} + C.

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