Desenhar as curvas ou superficies de nível dos seguientes campos escalares
.
.
Passo 1
Estamos estudando curvas de nível do campo escalar
Uma curva de nível de nível
é o conjunto de pontos
tais que
. Para desenhar, precisamos encontrar a forma geométrica de
Passo 2
Igualamos
a uma constante
:
Como
e
, só existem pontos reais quando
. Logo:
- Se
, a curva de nível é vazia. - Se
, a única solução é e , ou seja, o ponto . - Se
, obtemos uma elipse centrada na origem.
Passo 3
Para ver o formato de elipse, colocamos em forma padrão dividindo por
:
Isso mostra que a semi-eixo horizontal vale
e o vertical vale
.
Passo 4
Concluímos que, para cada
, a curva de nível
é uma elipse centrada em
, com:
– semi-eixo maior ao longo de com comprimento
,
– semi-eixo menor ao longo de com comprimento
.
À medida que cresce, a elipse se expande mantendo essa proporção.
– semi-eixo maior ao longo de
– semi-eixo menor ao longo de
À medida que
Resposta
As curvas de nível de
são as elipses
com semieixos
(eixo
) e
(eixo
).