Desenhar as curvas ou superficies de nível dos seguientes campos escalares f.
f: R^2 R, f(x, y)=x^2+4 y^2.

Passo 1

Estamos estudando curvas de nível do campo escalar
fcolon R^2toR, f(x,y)=x^2+4y^2
Uma curva de nível de nível c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c. Para desenhar, precisamos encontrar a forma geométrica de
x^2+4y^2=c

Passo 2

Igualamos f(x,y) a uma constante c:
x^2+4y^2=c
Como x^2>=0 e 4y^2>=0, só existem pontos reais quando c>=0. Logo:
  • Se c<0, a curva de nível é vazia.
  • Se c=0, a única solução é x=0 e y=0, ou seja, o ponto (0,0).
  • Se c>0, obtemos uma elipse centrada na origem.

Passo 3

Para ver o formato de elipse, colocamos em forma padrão dividindo por c:
x^2c+4y^2c=1 Longrightarrow x^2c+y^2c/4=1
Isso mostra que a semi-eixo horizontal vale raizc e o vertical vale raizc/4=tfracraizc2.

Passo 4

Concluímos que, para cada c>0, a curva de nível x^2+4y^2=c é uma elipse centrada em (0,0), com:
– semi-eixo maior ao longo de x com comprimento raizc,
– semi-eixo menor ao longo de y com comprimento tfracraizc2.
À medida que c cresce, a elipse se expande mantendo essa proporção.

Resposta

As curvas de nível de f são as elipses
x^2 + 4y^2 = c, c>=0,
com semieixos raizc (eixo x) e tfracraizc2 (eixo y).

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