Para que valores de m a equação x^2+y^2+4 x-2 y+8=2 m representa uma circunferência?

Passo 1

Temos a equação dada x^2+y^2+4x-2y+8=2m. O conteúdo aqui é geometria analítica no plano, mais especificamente a forma geral da equação de uma circunferência. Vamos precisar completar quadrados em x e y para chegar à forma padrão.

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em x e em y e completamos o quadrado:

Passo 3

(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) + 8 - 2m = 0

Passo 4

Agora, completando o quadrado em cada grupo:

Passo 5

x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4,

Passo 6

y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1

Passo 7

Substituindo de volta na equação:

Passo 8

(x+2)^2 - 4 + (y-1)^2 - 1 + 8 - 2m = 0

Passo 9

Somando as constantes -4 -1 +8 = 3, obtemos:

Passo 10

(x+2)^2 + (y-1)^2 + 3 - 2m = 0

Passo 11

Isolando os quadrados na esquerda:

Passo 12

(x+2)^2 + (y-1)^2 = 2m - 3

Passo 13

Para que isso represente de fato uma circunferência com raio real, o termo do lado direito (que é o quadrado do raio) deve ser positivo:

Passo 14

2m - 3 > 0

Passo 15

Logo, temos a condição

Passo 16

m > tfrac32

Resposta

m > 3/2

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