Questão 57. Sendo |u|=3,|v|=4 e 120^circ o ângulo entre os vetores u e v, calcule:
  1. |u+v|
  2. |u times(v-u)|
  3. O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u times v, u e v.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores u e v com lverturvert=3, lvertvrvert=4 e ângulo entre eles theta=120^circ. Vamos usar as fórmulas de:
  1. soma de vetores e lei dos cossenos para lvertu+vrvert;
  2. produto vetorial para lvertutimes(v-u)rvert, lembrando que utimesu=0;
  3. produto misto para o volume do paralelepípedo, isto é,
V = llvert (utimesv)cdot(utimesv)rrvert = lvertutimesvrvert^2

Passo 2

Para lvertu+vrvert usamos a lei dos cossenos no triângulo formado por u, v e u+v:
lvertu+vrvert^2 = lverturvert^2 + lvertvrvert^2 + 2,lverturvert,lvertvrvertcos120^circ = 3^2 + 4^2 + 2cdot3cdot4cdotl(-tfrac12r) = 9 + 16 - 12 = 13
Logo,
lvertu+vrvert = raiz13

Passo 3

Para lvertutimes(v-u)rvert note que
utimes(v-u) = utimesv ;-;utimesu = utimesv,
pois utimesu=0. Assim
lvertutimes(v-u)rvert = lvertutimesvrvert = lverturvert,lvertvrvert,sin120^circ = 3cdot4cdotraiz32 = 6raiz3

Passo 4

O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores utimesv, u e v é dado pelo valor absoluto do produto misto:
V = llvert(utimesv)cdotl(utimesvr)rrvert = lvertutimesvrvert^2 = l(6raiz3r)^2 = 108

Resposta

  1. raiz13
  2. 6raiz3
  3. 108

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