Desenhar as curvas ou superficies de nível dos seguientes campos escalares f.
f: R^3 R, f(x, y, z)=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as superfícies de nível do campo escalar
fcolon R^3 to R, f(x,y,z)=x^2+y^2
O conteúdo aqui é o conceito de superfície de nível em R^3, que para cada valor k fixa a equação f(x,y,z)=k.

Passo 2

Definimos a superfície de nível Sk como
Sk = (x,y,z)inR^3 mid f(x,y,z)=k = (x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2=k
Note que z não aparece na equação, então cada Sk será “independente” de z.

Passo 3

Analisamos os valores de k:
Para k<0:
x^2+y^2=k<0
não tem solução real, pois x^2+y^2>=0. Logo
Sk = emptyset
Para k=0:
x^2+y^2=0 implies x=0,;y=0
Fica
S0 = (0,0,z)mid zinR,
que é o próprio eixo z.
Para k>0:
x^2+y^2 = k = (raizk)^2
é a equação de um cilindro circular de raio raizk cujo eixo é paralelo ao eixo z.

Passo 4

Geometricamente, a família Skk>0 são cilindros concêntricos de raios raizk estendendo-se indefinidamente ao longo de z. O caso degenerado S0 é o eixo z, e para k<0 não há superfície.

Resposta

As superfícies de nível de f(x,y,z)=x^2+y^2 são
x^2+y^2 = k,
isto é:
  • para k<0: Sk=emptyset;
  • para k=0: S0 é o eixo z;
  • para k>0: Sk é um cilindro de raio raizk com eixo paralelo ao eixo z.

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