Obter a equação da hipérbole de focos e , sabendo que para qualquer ponto desta hipérbole o valor absoluto da diferença é 2 .
Passo 1
O enunciado pede a equação da hipérbole com focos em e tal que, para todo ponto dessa hipérbole, vale
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: hipérbole definida como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença de distâncias a dois focos é constante 2a. Para resolver, vamos identificar a, c e então obter b pela relação entre os parâmetros da hipérbole.
Passo 2
Pela definição de hipérbole, a diferença das distâncias aos focos é 2a. Como no enunciado essa diferença vale 2, temos
2a = 2 Longrightarrow a = 1
Passo 3
O foco está a uma distância c do centro, e aqui c = raiz10. A relação entre a, b e c para hipérbole horizontal centrada na origem é
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo c^2 = 10 e a^2 = 1, obtemos
b^2 = c^2 - a^2 = 10 - 1 = 9,
logo b = 3.
Passo 4
A forma padrão da hipérbole horizontal centrada na origem é