Obter a equação da hipérbole de focos F(raiz10, 0) e F^prime(-raiz10, 0), sabendo que para qualquer ponto P desta hipérbole o valor absoluto da diferença d(P, F)-d(P, F^prime) é 2 .

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole com focos em (raiz10,0) e (-raiz10,0) tal que, para todo ponto P dessa hipérbole, vale
l|d(P,F)-d(P,F')r| = 2
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: hipérbole definida como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença de distâncias a dois focos é constante 2a. Para resolver, vamos identificar a, c e então obter b pela relação entre os parâmetros da hipérbole.

Passo 2

Pela definição de hipérbole, a diferença das distâncias aos focos é 2a. Como no enunciado essa diferença vale 2, temos
2a = 2 Longrightarrow a = 1

Passo 3

O foco está a uma distância c do centro, e aqui c = raiz10. A relação entre a, b e c para hipérbole horizontal centrada na origem é
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo c^2 = 10 e a^2 = 1, obtemos
b^2 = c^2 - a^2 = 10 - 1 = 9,
logo b = 3.

Passo 4

A forma padrão da hipérbole horizontal centrada na origem é
x^2a^2 ;-;y^2b^2 ;=;1
Substituindo a^2 = 1 e b^2 = 9, a equação fica
x^21 ;-;y^29 = 1,
que simplifica para
x^2 - y^29 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é
x^2 - y^29 = 1

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