Questão 1. A reta r que passa pelos pontos A(-2,5,1) e B(1,3,0) é paralela a reta s que contém os pontos C(3,-1,-1) e D(0, m, n).
a) Determine o ponto D.
b) Determine a equação da reta s.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3: a reta r que passa por
A(-2,5,1) e B(1,3,0) e a reta s que passa por
C(3,-1,-1) e por um ponto D(0,m,n). Sabemos que s é paralela a r. Precisamos achar D (ou seja, m,n) e depois escrever a equação da reta s.

Passo 2

Para ter paralelismo, vamos primeiro achar o vetor diretor de r.
AB = B - A = (1-(-2),,3-5,,0-1) = (3,,-2,,-1)

Passo 3

O vetor CD deve ser paralelo a AB. Como
D=(0,m,n), C=(3,-1,-1),
temos
CD=D-C=(0-3,;m-(-1),;n-(-1)) = (-3,;m+1,;n+1)
Logo existe t tal que
(-3,;m+1,;n+1)=t,(3,,-2,,-1)

Passo 4

Comparando coordenadas:
-3 = 3t implies t = -1,
m+1 = -2,t = -2cdot(-1)=2 implies m=1,
n+1 = -1,t = -1cdot(-1)=1 implies n=0
Portanto
D=(0,1,0)

Passo 5

Para escrever a equação da reta s usamos o ponto C e o vetor diretor v=(3,-2,-1). Em forma paramétrica:
x = 3 + 3,lambda, y = -1 - 2,lambda, z = -1 - 1,lambda
Ou, em forma simétrica,
x-33 = y+1-2 = z+1-1

Resposta

a) D=(0,1,0).
b) Uma equação possível de s é
x = 3 + 3,lambda, y = -1 - 2,lambda, z = -1 - lambda

Exercícios relacionados