Desenhar as curvas ou superficies de nível dos seguientes campos escalares f.
f: R^2 R, f(x, y)=max |x|,|y|.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=maxlvert xrvert,lvert yrvert
Aqui o conteúdo é o conceito de curva de nível: para cada valor cinR, a curva de nível Lc é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c. Vamos usar a forma da “norma infinito” para identificar essas curvas.

Passo 2

Para c<0 não existem pontos (x,y) tais que
maxlvert xrvert,lvert yrvert=c<0,
pois maxlvert xrvert,lvert yrvert>=0 para todo (x,y). Logo, não há curvas de nível quando c<0.

Passo 3

Para c=0 a condição
maxlvert xrvert,lvert yrvert=0
implica lvert xrvert<=0 e lvert yrvert<=0, ou seja, x=0 e y=0. Portanto a curva de nível L0 é o ponto (0,0).

Passo 4

Para c>0 definimos
Lc = (x,y)inR^2 mid maxlvert xrvert,lvert yrvert=c
Isto equivale a dizer que ou
lvert xrvert=c e lvert yrvert<= c, ou
lvert yrvert=c e lvert xrvert<= c.
Geometricamente Lc é exatamente a fronteira do quadrado fechado [-c,c]times[-c,c], ou seja, o perímetro do quadrado de lado 2c centrado na origem.

Resposta

Para cada valor de nível c:
  • se c<0, não existe curva de nível;
  • se c=0, a curva de nível é o ponto (0,0);
  • se c>0, a curva de nível é o quadrado de vértices (c,c), (c,-c), (-c,c), (-c,-c), isto é, o perímetro de [-c,c]times[-c,c].

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