Escrever a equação das seguintes elipses:
Focos F(0,3) e F^prime(0,-3) e eixo menor igual a 10 ;

Passo 1

O problema pede a equação da elipse cujos focos são F(0,3) e F’(0,-3) e cujo eixo menor mede 10 unidades. Vamos usar a teoria de seções cônicas, em particular a definição de elipse com focos e a relação entre os semieixos: c^2 = a^2 - b^2.

Passo 2

Primeiro, determinamos o centro e a orientação da elipse. O centro é o ponto médio dos focos, ou seja, (0,0). Como os focos estão alinhados verticalmente, o eixo maior da elipse é vertical.

Passo 3

Agora calculamos os semieixos a partir dos dados: a distância focal total é a distância entre F e F’, que vale 6, Logo 2c = 6 e c = 3. O eixo menor tem comprimento 10, portanto o semieixo menor é b = 10/2 = 5.

Passo 4

Usando a relação entre semieixos, temos
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo c = 3 e b = 5:
9 = a^2 - 25
Logo
a^2 = 9 + 25 = 34

Passo 5

Como o eixo maior é vertical, a forma padrão da elipse é
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Substituindo b^2 = 25 e a^2 = 34, obtemos a equação desejada:

Resposta

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