Mostre que são tangentes as circunferências C1: x^2+y^2-6 x-2 y+9=0 e C2: x^2+y^2-8 x-2 y+13=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as circunferências
C1:x^2+y^2-6x-2y+9=0
e
C2:x^2+y^2-8x-2y+13=0
são tangentes. O que precisamos é determinar seus centros e raios, calcular a distância entre os centros e verificar se essa distância coincide com a soma ou com o valor absoluto da diferença dos raios.

Passo 2

Para C1 de equação x^2+y^2-6x-2y+9=0, os coeficientes são D=-6, E=-2 e F=9. Logo o centro O1=(x1,y1) e o raio r1 são
x1=-D2=--62=3, y1=-E2=--22=1,
r1=raizl(D2r)^2+l(E2r)^2-F =raiz3^2+1^2-9 =raiz1=1

Passo 3

Para C2 de equação x^2+y^2-8x-2y+13=0, os coeficientes são D=-8, E=-2 e F=13. Então o centro O2=(x2,y2) e o raio r2 são
x2=-D2=--82=4, y2=-E2=--22=1,
r2=raizl(D2r)^2+l(E2r)^2-F =raiz4^2+1^2-13 =raiz4=2

Passo 4

Calculamos a distância entre os centros O1=(3,1) e O2=(4,1):
d(O1,O2)=raiz(4-3)^2+(1-1)^2=raiz1+0=1

Passo 5

Verificamos as condições de tangência. Como
r2-r1=2-1=1 e d(O1,O2)=1,
temos d(O1,O2)=|r2-r1|, o que caracteriza tangência interna entre as circunferências.

Resposta

As circunferências C1 e C2 são tangentes internamente.

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