Desenhe uma reta r e um ponto P não pertencente à ela e construa uma paralela à r passando por P.

Passo 1

O enunciado pede: desenhar uma reta r e um ponto P que não pertence a r, e construir, usando régua e compasso, uma reta paralela a r que passe por P.
Dados fornecidos e o que precisamos: r (reta dada), P (ponto dado com P\notin r). O objetivo final é obter uma reta que passe por P e seja paralela a r.

Passo 2

Escolha do método (curtinha e prática): vamos construir uma perpendicular a r em um ponto qualquer A\in r e depois construir a perpendicular a essa perpendicular passando por P. A razão: duas retas que são ambas perpendiculares à mesma reta são paralelas entre si. Vou explicar e executar passo a passo.

Passo 3

Escolher um ponto A em r. Use a régua para marcar um ponto A qualquer sobre r. Esse ponto serve como centro para a primeira construção de perpendicular.

Passo 4

Construir a perpendicular a r passando por A (detalhes do procedimento com compasso e régua):
  • Com o compasso centrado em A, escolha um raio qualquer suficientemente grande para que o arco cortará a reta r em dois pontos distintos; trace esse arco e marque as interseções com r como B e C. Assim AB = AC por construção.
  • Com o compasso centrado em B e com raio maior que \tfrac{1}{2}BC, faça um arco acima de r. Repita com centro em C e o mesmo raio; essas duas curvas se cruzarão em um ponto que chamo D (no mesmo lado de r).
  • Trace a reta que passa por A e D. Essa reta é perpendicular a r. Explicação curta do porquê: os pontos A e D são ambos equidistantes de B e C ( AB=AC e por construção DB=DC ), logo a reta AD é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de B e C, i.e., a mediatriz de BC; a mediatriz é perpendicular a BC, e BC é um segmento de r, então AD é perpendicular a r. Denotemos essa reta por s (ou seja, s é a reta AD).

Passo 5

Construir a perpendicular à reta s passando por P (procedimento análogo):
  • Com o compasso centrado em P, escolha um raio que faça o círculo centrado em P cortar s em dois pontos distintos; marque essas interseções como E e F. Assim PE = PF.
  • Com o compasso centrado em E e com o mesmo raio maior que \tfrac{1}{2}EF, faça um arco num lado de s. Repita com centro em F e o mesmo raio; as duas curvas se cruzarão em um ponto que chamo G.
  • Trace a reta que passa por P e G. Essa reta é perpendicular a s. Explicação do porquê: P e G são ambos equidistantes de E e F, logo a reta PG é a mediatriz de EF, e assim é perpendicular a EF; como E,F\in s, a reta PG é perpendicular a s. Denotemos essa nova reta por t (ou seja, t é a reta PG).

Passo 6

Concluir que t é paralela a r. Justificativa: pela construção temos que s é perpendicular a r e t é perpendicular a s. Logo ambos r e t formam ângulos retos com s. Em geometria euclidiana, duas retas distintas que são perpendiculares à mesma reta não se interceptam, portanto são paralelas. Logo t é paralela a r e passa por P, que é exatamente o que queríamos.

Passo 7

Resumo prático do que você deve ter desenhado na folha (para conferir):
  • reta r e ponto P fora dela;
  • ponto A\in r; arcos que definiram B,C em r; interseção de arcos D; reta s=AD perpendicular a r;
  • arcos centrados em P que cortam s em E,F; interseção de arcos G; reta t=PG perpendicular a s.
    A reta t é a paralela a r que passa por P. Vai com calma, repete a construção algumas vezes — fica mais fácil a cada tentativa. Você consegue!

Resposta

A reta t determinada por P e G (construída como perpendicular a s, sendo s a perpendicular a r em A) é paralela a r.

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