Estime \sqrt{\pi} das duas formas a seguir e calcule os erros absoluto e relativo:
escrevendo \sqrt{\pi}=\sqrt{3}\left(\sqrt{1+\frac{\pi-3}{3}}\right), juntamente com uma aproximação linear para \sqrt{1-u} em torno de u=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede-se estimar \sqrt{\pi} usando a escrita \sqrt{\pi}=\sqrt{3}\,\sqrt{1+\frac{\pi-3}{3}}e aplicar uma aproximação linear para \sqrt{1-u} em torno de u=0.
  • Informação numérica que vamos usar (valores padrão):
    • \pi\approx 3,141592653589793.
    • \sqrt{3}\approx 1,7320508075688773.
  • Objetivos concretos:
    1. Obter a aproximação linear de \sqrt{\pi} com a ideia pedida.
    2. Calcular o erro absoluto |\text{aprox} - \sqrt{\pi}|.
    3. Calcular o erro relativo \dfrac{|\text{aprox} - \sqrt{\pi}|}{\sqrt{\pi}}.

Passo 2

Aprendendo a aproximação linear (a ideia, bem mastigada).
  • Seja a função f(u)=\sqrt{1-u}. A aproximação linear de f em torno de u=0 é a reta dada por f(u)\approx f(0)+f'(0)\,u.
  • Calculamos f(0) e f'(u): f(0)=\sqrt{1-0}=1, \qquad f'(u)=\frac{d}{du}\sqrt{1-u}=-\frac{1}{2\sqrt{1-u}}.Assim f'(0)=-\tfrac{1}{2}.
  • Logo a aproximação linear é \sqrt{1-u}\approx 1-\frac{u}{2}\quad\text{para \(u\) pequeno.}Explicando em palavras: perto de u=0 a raiz varia quase linearmente, com inclinação -\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Colocando o problema na forma \sqrt{1-u}.
  • Escrevemos \sqrt{\pi}=\sqrt{3}\,\sqrt{1+\frac{\pi-3}{3}}.
  • Para usar \sqrt{1-u} com a forma acima, tomamos 1+\frac{\pi-3}{3}=1-u \quad\Longrightarrow\quad u=-\frac{\pi-3}{3}.Portanto u é negativo, mas pequeno em módulo: u=-\frac{\pi-3}{3}\approx -0,047197551196597746.(Isso é só para encaixar na fórmula \sqrt{1-u}.)

Passo 4

Aplicando a aproximação linear.
  • Usando \sqrt{1-u}\approx 1-\tfrac{u}{2} com u=-\dfrac{\pi-3}{3} obtemos \sqrt{1+\frac{\pi-3}{3}}=\sqrt{1-u}\approx 1-\frac{u}{2} =1-\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{\pi-3}{3}\Bigr) =1+\frac{\pi-3}{6}.
  • Portanto a estimativa para \sqrt{\pi} é \sqrt{\pi}\approx \sqrt{3}\,\Bigl(1+\frac{\pi-3}{6}\Bigr).Esta expressão é a forma linearizada pedida; agora vamos calcular numericamente.

Passo 5

Cálculo numérico da aproximação passo a passo.
  • Primeiro calculemos \dfrac{\pi-3}{6}: \pi-3\approx 0,141592653589793, \qquad \frac{\pi-3}{6}\approx 0,023598775598298873.
  • Então 1+\frac{\pi-3}{6}\approx 1,023598775598298873.
  • Multiplicando por \sqrt{3}: \sqrt{\pi}\approx \sqrt{3}\,\Bigl(1+\frac{\pi-3}{6}\Bigr) \approx 1,7320508075688773 \times 1,0235987755982989 \approx 1,7729273292371967.

Passo 6

Valor “verdadeiro” de referência para \sqrt{\pi}.
  • Usando o valor conhecido de alta precisão, \sqrt{\pi}\approx 1,7724538509055160.

Passo 7

Erro absoluto (passo a passo).
  • Definimos erro absoluto E_{\text{abs}}=\bigl|\text{aprox}-\sqrt{\pi}\bigr|.
  • Substituindo os números: E_{\text{abs}}\approx\bigl|1,7729273292371967-1,7724538509055160\bigr| \approx 0,0004734783316806.

Passo 8

Erro relativo (passo a passo).
  • Definimos erro relativo (em forma decimal) E_{\text{rel}}=\frac{E_{\text{abs}}}{\sqrt{\pi}}.
  • Calculando: E_{\text{rel}}\approx\frac{0,0004734783316806}{1,7724538509055160} \approx 0,000267183613614.Em percentagem isso é aproximadamente 0,026718\%.

Passo 9

Breve verificação teórica (por que o sinal do erro é esse).
  • A expansão em série de \sqrt{1+\varepsilon} é \sqrt{1+\varepsilon}=1+\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^{2}}{8}+\cdots,com \varepsilon=\dfrac{\pi-3}{3}\approx 0,04719755.
  • O termo quadrático é negativo, portanto a aproximação linear (que retira esse termo) sobreestima o valor verdadeiro. A ordem de grandeza do erro é aproximadamente \bigl|\text{erro}\bigr|\approx \sqrt{3}\,\frac{\varepsilon^{2}}{8} \approx 0,00047,que bate com o erro numérico encontrado.

Resposta

\sqrt{\pi}\approx 1,7729273292371967
Erro absoluto \approx 0,0004734783316806
Erro relativo \approx 0,000267183613614 (aproximadamente 0,026718\%)

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