Estime
das duas formas a seguir e calcule os erros absoluto e relativo:
escrevendo
, juntamente com uma aproximação linear para
em torno de
escrevendo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede-se estimar
usando a escrita e aplicar uma aproximação linear para em torno de . - Informação numérica que vamos usar (valores padrão):
-
. -
.
-
- Objetivos concretos:
- Obter a aproximação linear de
com a ideia pedida. - Calcular o erro absoluto
. - Calcular o erro relativo
.
- Obter a aproximação linear de
Passo 2
Aprendendo a aproximação linear (a ideia, bem mastigada).
- Seja a função
. A aproximação linear de em torno de é a reta dada por - Calculamos
e : Assim . - Logo a aproximação linear é
Explicando em palavras: perto de a raiz varia quase linearmente, com inclinação .
Passo 3
Colocando o problema na forma
.
- Escrevemos
- Para usar
com a forma acima, tomamos Portanto é negativo, mas pequeno em módulo: (Isso é só para encaixar na fórmula .)
Passo 4
Aplicando a aproximação linear.
- Usando
com obtemos - Portanto a estimativa para
é Esta expressão é a forma linearizada pedida; agora vamos calcular numericamente.
Passo 5
Cálculo numérico da aproximação passo a passo.
- Primeiro calculemos
: - Então
- Multiplicando por
:
Passo 6
Valor “verdadeiro” de referência para
.
- Usando o valor conhecido de alta precisão,
Passo 7
Erro absoluto (passo a passo).
- Definimos erro absoluto
- Substituindo os números:
Passo 8
Erro relativo (passo a passo).
- Definimos erro relativo (em forma decimal)
- Calculando:
Em percentagem isso é aproximadamente .
Passo 9
Breve verificação teórica (por que o sinal do erro é esse).
- A expansão em série de
é com . - O termo quadrático é negativo, portanto a aproximação linear (que retira esse termo) sobreestima o valor verdadeiro. A ordem de grandeza do erro é aproximadamente
que bate com o erro numérico encontrado.
Resposta
Erro absoluto
Erro relativo