Obtenha a Transformada de Laplace Inversa abaixo.

Dica: Use completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento complexo visto em sala.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de 3s-4s^2+6s+10. O conteúdo é completamento de quadrado no denominador e uso do teorema do deslocamento (shifting) na variável s.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em s^2+6s+10. Note que
s^2 + 6s + 10 = (s+3)^2 + 1

Passo 3

Agora reescrevemos o numerador em função de (s+3). Fazendo s = (s+3)-3, temos
3s - 4 = 3l((s+3)-3r) -4 = 3(s+3) -9 -4 = 3(s+3) -13

Passo 4

Logo podemos escrever
3s-4s^2+6s+10 = 3(s+3)(s+3)^2+1 - 13(s+3)^2+1

Passo 5

Agora aplicamos o teorema do deslocamento:
  • Sabemos que Le^-3tcos t = s+3(s+3)^2+1.
  • E que Le^-3tsin t = 1(s+3)^2+1.

Passo 6

Logo, invertendo cada termo:
L^-1l3(s+3)(s+3)^2+1r = 3e^-3tcos t,
L^-1l13(s+3)^2+1r = 13e^-3tsin t

Passo 7

Por fim, combinando os resultados, obtemos a função no tempo:
3e^-3tcos t - 13e^-3tsin t

Resposta

e^-3tl(3cos t - 13sin tr)

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