Desenhe um campo de direções para cada equação diferencial abaixo. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de boldsymbol{y} quando boldsymbol{t} \rightarrow \infty. boldsymbol{y}^{\prime}=2 \boldsymbol{y}-1
Passo 1
O enunciado pede o campo de direções (slope field) para a EDO autônoma
\boldsymbol{y}' = 2\,\boldsymbol{y} - 1
e, a partir dele, determinar o que acontece com \boldsymbol{y} quando \boldsymbol{t}\to\infty. O conteúdo aqui é EDOs autônomas de primeira ordem e comportamento assintótico via ponto de equilíbrio.
Passo 2
Encontramos o ponto de equilíbrio resolvendo
2\,\boldsymbol{y} - 1 = 0
ou seja,
\boldsymbol{y} = \tfrac12.
Esse valor de \boldsymbol{y} faz a inclinação zero no campo de direções.
Passo 3
Para desenhar o campo de direções, fixamos vários valores de \boldsymbol{y}\) e calculamos a inclinação \(\boldsymbol{y}'\):
\[\begin{cases} \boldsymbol{y} > \tfrac12 \;\Longrightarrow\; 2\,\boldsymbol{y}-1>0 \quad(\text{segmentos subindo}),\\\ \boldsymbol{y} = \tfrac12 \;\Longrightarrow\; 2\,\boldsymbol{y}-1=0 \quad(\text{segmentos horizontais}),\\\ \boldsymbol{y} < \tfrac12 \;\Longrightarrow\; 2\,\boldsymbol{y}-1<0 \quad(\text{segmentos descendo}). \end{cases}
Isso gera linhas de inclinações crescentes conforme (\boldsymbol{y}] aumenta.
Passo 4
Interpretando o campo de direções:
– A reta horizontal \boldsymbol{y}=\tfrac12 é a única solução constante.
– Para condições iniciais acima de \tfrac12, todos os vetores tangentes apontam para cima e ficam cada vez mais íngremes, levando \boldsymbol{y}\to+\infty.
– Para condições iniciais abaixo de \tfrac12, os vetores apontam para baixo e ficam cada vez mais íngremes, levando \boldsymbol{y}\to-\infty.
Para a EDO \boldsymbol{y}'=2\boldsymbol{y}-1\), o ponto de equilíbrio é \(\boldsymbol{y}=\tfrac12\). Quando \(\boldsymbol{t}\to\infty\),
\[\begin{cases} \boldsymbol{y}(t)\to+\infty, & \text{se \(\boldsymbol{y}(0)>\tfrac12},\ \boldsymbol{y}(t)\to\tfrac12, & se \boldsymbol{y}(0)=\tfrac12,\ \boldsymbol{y}(t)\to-\infty, & se \boldsymbol{y}(0)<\tfrac12. \end{cases}]